3- As probabilidades de que três eventos independentes A, BeC ocorram são x , y e z respectivamente. Qual a probabilidade :
a) De que nenhum destes eventos ocorram ?
b) De que exatamente dois destes eventos ocorram?
c) De que ao menos um dos eventos ocorra?

Passo 1

O enunciado dá três eventos independentes A, B e C com
,P(A)=x, P(B)=y e P(C)=z.
Precisamos usar:
  • Regra do complemento: P(A^c)=1-P(A).
  • Independência: P(Xcap Y)=P(X),P(Y).
  • Soma de eventos mutuamente excludentes.

Passo 2

Para que nenhum ocorra, todos ocorrem em suas complementares A^c, B^c, C^c. Como são independentes,
P(nenhum)=P(A^ccap B^ccap C^c) =P(A^c),P(B^c),P(C^c) =(1-x)(1-y)(1-z)

Passo 3

Para exatamente dois ocorrerem, somamos as três possibilidades mutuamente excludentes:
  1. A e B ocorrem, C não: P(Acap Bcap C^c)=x,y,(1-z).
  2. A e C ocorrem, B não: P(Acap Ccap B^c)=x,z,(1-y).
  3. B e C ocorrem, A não: P(Bcap Ccap A^c)=y,z,(1-x).
    Logo,
P(exatamente dois) = x,y,(1-z) + x,z,(1-y) + y,z,(1-x)

Passo 4

Para ao menos um ocorrer, é mais simples usar o complementar de “nenhum”:
P(ao menos um) =1 - P(nenhum) =1 - (1-x)(1-y)(1-z)

Resposta

a)
(1-x)(1-y)(1-z)
b)
x,y,(1-z) + x,z,(1-y) + y,z,(1-x)
c)
1 - (1-x)(1-y)(1-z)

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