4- Sejam A e B, dois eventos de um espaço amostral S.
a) Mostre que se
e
são eventos independentes então
e
e
e
também são.
b) Se
mostre que
. Justifique sua resposta.
a) Mostre que se
b) Se
Passo 1
O enunciado trata de teoria de probabilidade: temos dois eventos
e
num espaço amostral
.
a) Parte 1 pede para mostrar que, se
a) Parte 1 pede para mostrar que, se
então também valem as independências
Usaremos propriedades de complemento e de subtração de probabilidades.
b) Parte 2 pede para provar a monotonicidade da medida de probabilidade: se então
. Para isso basta escrever
como união de
com a parte de
que não está em
.
b) Parte 2 pede para provar a monotonicidade da medida de probabilidade: se
Passo 2
Mostramos que
e
são independentes.
Usamos
Usamos
e a hipótese de independência de
e
:
Passo 3
Mostramos que
e
são independentes.
Analogamente,
Analogamente,
Passo 4
Mostramos que
e
são independentes.
Usamos a lei de De Morgan e soma de probabilidades:
Usamos a lei de De Morgan e soma de probabilidades:
Passo 5
Mostramos a monotonicidade: se
então
.
Como temos a partição
Como
Logo
pois
.
Resposta
(a) Ficou provado que
ou seja,
e
;
e
;
e
são independentes.
(b) Se então
, logo
.
(b) Se