4- Sejam A e B, dois eventos de um espaço amostral S.
a) Mostre que se A e B são eventos independentes então A e B^c ; A^c e B ; A^c e B^c também são.
b) Se A subset B mostre que P(A) <= P(B). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de teoria de probabilidade: temos dois eventos A e B num espaço amostral S.
a) Parte 1 pede para mostrar que, se
P(Acap B)=P(A),P(B),
então também valem as independências
P(Acap B^c)=P(A),P(B^c), P(A^ccap B)=P(A^c),P(B), P(A^ccap B^c)=P(A^c),P(B^c)
Usaremos propriedades de complemento e de subtração de probabilidades.
b) Parte 2 pede para provar a monotonicidade da medida de probabilidade: se Asubset B então P(A)<= P(B). Para isso basta escrever B como união de A com a parte de B que não está em A.

Passo 2

Mostramos que A e B^c são independentes.
Usamos
P(Acap B^c)=P(A)-P(Acap B)
e a hipótese de independência de A e B:
P(Acap B^c) = P(A)-P(A)P(B) = P(A)l(1-P(B)r) = P(A),P(B^c)

Passo 3

Mostramos que A^c e B são independentes.
Analogamente,
P(A^ccap B) = P(B)-P(Acap B) = P(B)-P(A)P(B) = l(1-P(A)r)P(B) = P(A^c),P(B)

Passo 4

Mostramos que A^c e B^c são independentes.
Usamos a lei de De Morgan e soma de probabilidades:
P(A^ccap B^c) = 1 - P(Acup B) = 1 - l[P(A)+P(B)-P(Acap B)r] = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = l(1-P(A)r)l(1-P(B)r) = P(A^c),P(B^c)

Passo 5

Mostramos a monotonicidade: se Asubset B então P(A)<= P(B).
Como Asubset B temos a partição
B = A ;cup;(Bsetminus A), Acap (Bsetminus A)=emptyset
Logo
P(B)=P(A)+P(Bsetminus A)>= P(A),
pois P(Bsetminus A)>= 0.

Resposta

(a) Ficou provado que
P(Acap B^c)=P(A),P(B^c), P(A^ccap B)=P(A^c),P(B), P(A^ccap B^c)=P(A^c),P(B^c),
ou seja, A e B^c; A^c e B; A^c e B^c são independentes.
(b) Se Asubset B então P(B)=P(A)+P(Bsetminus A)>= P(A), logo P(A)<= P(B).

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