Q4) Uma prova de múltipla escolha tem 3 questões, cada uma com 5 alternativas. Um determinado aluno não estudou para a prova e resolve chutar as respostas.
a) Qual a probabilidade do aluno acertar apenas 1 questão da prova?
Para o aluno ser aprovado, basta ele acertar duas questões.
b) Qual a probabilidade do aluno ser aprovado?
c) Qual o número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado?
a) Qual a probabilidade do aluno acertar apenas 1 questão da prova?
b) Qual a probabilidade do aluno ser aprovado?
c) Qual o número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema envolve probabilidade, especificamente a distribuição binomial. Temos um aluno que vai chutar as respostas de uma prova com 3 questões, cada uma com 5 alternativas. Precisamos calcular a chance dele acertar exatamente 1 questão, ser aprovado acertando pelo menos 2 questões e, por fim, descobrir o número esperado de acertos sabendo que ele foi aprovado. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que ajuda a calcular a chance de obtermos um certo número de sucessos em tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual a probabilidade do aluno acertar apenas 1 questão da prova?
Aqui, temos:
- Número total de questões,
- Probabilidade de acertar uma questão,
(já que há 5 alternativas) - Queremos exatamente
acerto
A fórmula da probabilidade binomial é:
Aplicando os valores:
Calculando isso, teremos a probabilidade de acertar exatamente 1 questão.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Qual a probabilidade do aluno ser aprovado, ou seja, acertar pelo menos 2 questões?
Isso significa que o aluno pode acertar 2 ou 3 questões. Então, vamos calcular
, que é:
Usando a mesma fórmula binomial para
e
:
Somando esses dois resultados, teremos a probabilidade de o aluno ser aprovado.
Passo 4
Por fim, a parte c): Qual é o número esperado de questões certas, sabendo que o aluno foi aprovado?
Aqui, queremos o valor esperado de
dado que
. Isso é calculado por:
Usamos os valores que já calculamos nas partes anteriores para encontrar essa expectativa.
Resposta
a) A probabilidade do aluno acertar apenas 1 questão é
ou aproximadamente 38,4%.
b) A probabilidade do aluno ser aprovado é
ou aproximadamente 10,4%.
c) O número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado, é
ou aproximadamente 2,08 questões.