Q4) Uma prova de múltipla escolha tem 3 questões, cada uma com 5 alternativas. Um determinado aluno não estudou para a prova e resolve chutar as respostas.
a) Qual a probabilidade do aluno acertar apenas 1 questão da prova?
Para o aluno ser aprovado, basta ele acertar duas questões.
b) Qual a probabilidade do aluno ser aprovado?
c) Qual o número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema envolve probabilidade, especificamente a distribuição binomial. Temos um aluno que vai chutar as respostas de uma prova com 3 questões, cada uma com 5 alternativas. Precisamos calcular a chance dele acertar exatamente 1 questão, ser aprovado acertando pelo menos 2 questões e, por fim, descobrir o número esperado de acertos sabendo que ele foi aprovado. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que ajuda a calcular a chance de obtermos um certo número de sucessos em tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual a probabilidade do aluno acertar apenas 1 questão da prova?
Aqui, temos:
  • Número total de questões, n = 3
  • Probabilidade de acertar uma questão, p = 15 (já que há 5 alternativas)
  • Queremos exatamente k = 1 acerto
A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Aplicando os valores:
P(X = 1) = binom31 times (15)^1 times (45)^2
Calculando isso, teremos a probabilidade de acertar exatamente 1 questão.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Qual a probabilidade do aluno ser aprovado, ou seja, acertar pelo menos 2 questões?
Isso significa que o aluno pode acertar 2 ou 3 questões. Então, vamos calcular P(X >= 2) , que é:
P(X >= 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
Usando a mesma fórmula binomial para k = 2 e k = 3 :
P(X = 2) = binom32 times (15)^2 times (45)^1
P(X = 3) = binom33 times (15)^3 times (45)^0
Somando esses dois resultados, teremos a probabilidade de o aluno ser aprovado.

Passo 4

Por fim, a parte c): Qual é o número esperado de questões certas, sabendo que o aluno foi aprovado?
Aqui, queremos o valor esperado de X dado que X >= 2 . Isso é calculado por:
E[X | X >= 2] = 2 times P(X=2) + 3 times P(X=3)P(X >= 2)
Usamos os valores que já calculamos nas partes anteriores para encontrar essa expectativa.

Resposta

a) A probabilidade do aluno acertar apenas 1 questão é 48125 ou aproximadamente 38,4%.
b) A probabilidade do aluno ser aprovado é 12125 + 1125 = 13125 ou aproximadamente 10,4%.
c) O número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado, é 2 times 12125 + 3 times 112513125 = 24 + 313 = 2713 ou aproximadamente 2,08 questões.

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