Q3) Em uma cidade, os motoristas são parados pela polícia para fazer um teste sobre o teor de álcool no sangue. Suponha que a probabilidade de que um motorista detido esteja embriagado é 5 % e que o teste realizado acerta o estado de embriaguez, isto é, se está sóbrio ou embriagado, em 80 % das ocasiões.
(a) Qual a probabilidade de que o teste de um motorista detido resulte positivo, ou seja, ateste embriaguez?
Os motoristas cujos testes dão positivo são submetidos a um segundo exame, que nunca falha em um motorista sóbrio, porém tem probabilidade 10 % de erro nos embriagados.
(b) Dado que o segundo teste de um motorista resultou negativo, ou seja, atestou sobriedade, qual a probabilidade de que estava dirigindo embriagado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo testes de álcool para motoristas. Precisamos calcular duas coisas: primeiro, a chance de um motorista detido ter o teste positivo para álcool; segundo, sabendo que o segundo teste deu negativo, qual a probabilidade desse motorista realmente estar embriagado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica e, especialmente, o Teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos saber qual a probabilidade de o teste de um motorista detido resultar positivo. Para isso, precisamos considerar duas situações: o motorista está realmente embriagado ou está sóbrio.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de um motorista detido estar embriagado é de 5%, ou seja, P(E) = 0,05 . Consequentemente, a probabilidade de ele estar sóbrio é de 95%, P(S) = 0,95 .

Passo 4

O teste acerta o estado de embriaguez em 80% das vezes. Isso significa:
  • Se o motorista está embriagado, a probabilidade do teste dar positivo é 80%, P(T+|E) = 0,8 .
  • Se o motorista está sóbrio, a probabilidade do teste dar positivo é de 20%, P(T+|S) = 0,2 (já que o teste erra 20% das vezes quando o motorista está sóbrio).

Passo 5

Para achar a probabilidade total de o teste dar positivo, usamos a regra da probabilidade total:
P(T+) = P(T+|E) cdot P(E) + P(T+|S) cdot P(S)
Substituindo os valores:
P(T+) = 0,8 cdot 0,05 + 0,2 cdot 0,95

Passo 6

Calculando:
P(T+) = 0,04 + 0,19 = 0,23
Então, a probabilidade de o teste dar positivo é de 23%.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o segundo exame nunca erra um motorista sóbrio, ou seja, se o motorista está sóbrio, o teste sempre dá negativo: P(T2- | S) = 1 . Porém, se o motorista está embriagado, há uma chance de 10% de erro, ou seja, P(T2- | E) = 0,1 .

Passo 8

Queremos encontrar a probabilidade de o motorista estar embriagado dado que o segundo teste deu negativo, P(E | T2-) . Aqui, usamos o Teorema de Bayes:
P(E | T2-) = P(T2- | E) cdot P(E)P(T2-)

Passo 9

Primeiro, precisamos calcular P(T2-) , a probabilidade do segundo teste dar negativo:
P(T2-) = P(T2- | E) cdot P(E) + P(T2- | S) cdot P(S)
Substituindo os valores:
P(T2-) = 0,1 cdot 0,05 + 1 cdot 0,95 = 0,005 + 0,95 = 0,955

Passo 10

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
P(E | T2-) = 0,1 cdot 0,050,955 = 0,0050,955 approx 0,00524
Convertendo para porcentagem, aproximadamente 0,524%.

Resposta

(a) A probabilidade de o teste de um motorista detido resultar positivo é de 23%.
(b) Dado que o segundo teste resultou negativo, a probabilidade de o motorista estar realmente embriagado é de aproximadamente 0,524%.

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