Q3) Em uma cidade, os motoristas são parados pela polícia para fazer um teste sobre o teor de álcool no sangue. Suponha que a probabilidade de que um motorista detido esteja embriagado é
e que o teste realizado acerta o estado de embriaguez, isto é, se está sóbrio ou embriagado, em
das ocasiões.
(a) Qual a probabilidade de que o teste de um motorista detido resulte positivo, ou seja, ateste embriaguez?
Os motoristas cujos testes dão positivo são submetidos a um segundo exame, que nunca falha em um motorista sóbrio, porém tem probabilidade
de erro nos embriagados.
(b) Dado que o segundo teste de um motorista resultou negativo, ou seja, atestou sobriedade, qual a probabilidade de que estava dirigindo embriagado?
(a) Qual a probabilidade de que o teste de um motorista detido resulte positivo, ou seja, ateste embriaguez?
(b) Dado que o segundo teste de um motorista resultou negativo, ou seja, atestou sobriedade, qual a probabilidade de que estava dirigindo embriagado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo testes de álcool para motoristas. Precisamos calcular duas coisas: primeiro, a chance de um motorista detido ter o teste positivo para álcool; segundo, sabendo que o segundo teste deu negativo, qual a probabilidade desse motorista realmente estar embriagado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica e, especialmente, o Teorema de Bayes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos saber qual a probabilidade de o teste de um motorista detido resultar positivo. Para isso, precisamos considerar duas situações: o motorista está realmente embriagado ou está sóbrio.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade de um motorista detido estar embriagado é de 5%, ou seja,
. Consequentemente, a probabilidade de ele estar sóbrio é de 95%,
.
Passo 4
O teste acerta o estado de embriaguez em 80% das vezes. Isso significa:
- Se o motorista está embriagado, a probabilidade do teste dar positivo é 80%,
. - Se o motorista está sóbrio, a probabilidade do teste dar positivo é de 20%,
(já que o teste erra 20% das vezes quando o motorista está sóbrio).
Passo 5
Para achar a probabilidade total de o teste dar positivo, usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando:
Então, a probabilidade de o teste dar positivo é de 23%.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o segundo exame nunca erra um motorista sóbrio, ou seja, se o motorista está sóbrio, o teste sempre dá negativo:
. Porém, se o motorista está embriagado, há uma chance de 10% de erro, ou seja,
.
Passo 8
Queremos encontrar a probabilidade de o motorista estar embriagado dado que o segundo teste deu negativo,
. Aqui, usamos o Teorema de Bayes:
Passo 9
Primeiro, precisamos calcular
, a probabilidade do segundo teste dar negativo:
Substituindo os valores:
Passo 10
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
Convertendo para porcentagem, aproximadamente 0,524%.
Resposta
(a) A probabilidade de o teste de um motorista detido resultar positivo é de 23%.
(b) Dado que o segundo teste resultou negativo, a probabilidade de o motorista estar realmente embriagado é de aproximadamente 0,524%.