Problema 04 - Considere o campo de escoamento bidimensional, e em regime permanente, cujo campo de velocidade é dado por:
\mathbf{V}=\left(\frac{V_{o}}{\ell}\right)(x \mathbf{i}-y \mathbf{j})(\mathrm{m} / \mathrm{s})
\mathbf{V}=\left(\frac{V_{o}}{\ell}\right)(x \mathbf{i}-y \mathbf{j})(\mathrm{m} / \mathrm{s})
Determine o campo de aceleração deste escoamento.

Passo 1

O enunciado fornece um escoamento bidimensional em regime permanente com velocidade
\mathbf V(x,y)=\frac{V_{o}}{\ell}\bigl(x\,\mathbf i - y\,\mathbf j\bigr).
O objetivo é determinar o campo de aceleração \mathbf a desse escoamento.

Passo 2

Em regime permanente a aceleração local \partial\mathbf V/\partial t é nula, restando apenas a aceleração convectiva
\mathbf a=(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V.
Para aplicar isso, vamos escrever \mathbf V em componentes cartesianas:
\mathbf V=(u(x,y),\,v(x,y)),
onde u é a componente em x e v a componente em y.

Passo 3

Identificamos
u(x,y)=\frac{V_{o}}{\ell}\,x, \qquad v(x,y)=-\,\frac{V_{o}}{\ell}\,y.

Passo 4

A definição de aceleração convectiva em componentes é
a_{x}=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}, \quad a_{y}=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

As derivadas são
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{V_{o}}{\ell}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{V_{o}}{\ell}.
Substituindo em a_x e a_y:
a_{x} =\;u\Bigl(\frac{V_{o}}{\ell}\Bigr)+v\,(0) =\frac{V_{o}}{\ell}\,u =\Bigl(\frac{V_{o}}{\ell}\Bigr)^{2}x,
a_{y} =\;u\,(0)+v\Bigl(-\frac{V_{o}}{\ell}\Bigr) =-\frac{V_{o}}{\ell}\,v =\Bigl(\frac{V_{o}}{\ell}\Bigr)^{2}y.

Resposta

\boxed{ \mathbf a(x,y) =\frac{V_{o}^{2}}{\ell^{2}}\bigl(x\,\mathbf i + y\,\mathbf j\bigr). }

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