Questão 2 (3,5 pontos)
Dada a EDOLH
x^2 y^prime prime+7 x y^prime+(2 x+9) y=0
(a) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(b) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2y'' +7x,y' + (2x+9),y = 0
que tem singular regular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius, buscando uma solução da forma
y=sumn=0^inftyan,x^n+r

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série de Frobenius:
y=sumn=0^inftyan,x^n+r, y'=sumn=0^infty(n+r),an,x^n+r-1, y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1),an,x^n+r-2

Passo 3

Substituindo na EDOLH:
x^2y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r, 7x,y'=sumn=0^infty7(n+r)anx^n+r,
(2x+9)y =sumn=0^infty9anx^n+r +sumn=0^infty2anx^n+r+1
Reindexando o segundo termo de 2x,y via nto n-1 e somando as potências x^n+r, obtemos para n=0 a equação do indicial:
l[r(r-1)+7r+9r]a0=0
e, para n>=1,
l[(n+r)(n+r+6)r]an+2,an-1=0

Passo 4

A equação do indicial é
r^2+6r+9=0
que dá raiz dupla
r=-3(mu<iplicidade 2)

Passo 5

Para n>=1 a relação de recorrência fica, com r=-3,
an=-2,an-1(n-3)(n+3) (n>=1)

Passo 6

Escolhendo a0neq0, a primeira solução é
y1(x) =x^-3sumn=0^inftyan,x^n =x^-3l[a0 +sumn=1^inftyl(-2(1-3)(1+3)cdotcdotscdot-2(n-3)(n+3)r)a0,x^nr]
Mais sinteticamente,
y1(x)=x^-3l[1+sumn=1^inftycn,x^nr],
onde os coeficientes cn vêm da recorrência acima.

Passo 7

Como a raiz r=-3 é dupla, a segunda solução linearmente independente tem a forma clássica
y2(x)=y1(x),ln x +sumn=0^inftybn,x^n-3,
onde os bn são determinados por outro sistema de recorrência (não pedido).

Resposta

(a)
y1(x)=x^-3l[1+sumn=1^inftycnx^nr],
com
cn=-dfrac2,cn-1(n-3)(n+3) e c0=1.
(b)
y2(x)=y1(x)ln x+sumn=0^inftybnx^n-3,
forma típica de segunda solução em caso de raiz dupla do indicial.

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