Questão 2 (3,5 pontos)
Dada a EDOLH
(a) Determine uma solução pelo método de Frobenius.
(b) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Dada a EDOLH
(b) Indique a forma da outra solução l.i., sem calcular os coeficientes.
Passo 1
O enunciado dá a equação
que tem singular regular em
. Vamos usar o método de Frobenius, buscando uma solução da forma
Passo 2
Escrevemos as derivadas em série de Frobenius:
Passo 3
Substituindo na EDOLH:
Reindexando o segundo termo de
via
e somando as potências
, obtemos para
a equação do indicial:
e, para
,
Passo 4
A equação do indicial é
que dá raiz dupla
Passo 5
Para
a relação de recorrência fica, com
,
Passo 6
Escolhendo
, a primeira solução é
Mais sinteticamente,
onde os coeficientes
vêm da recorrência acima.
Passo 7
Como a raiz
é dupla, a segunda solução linearmente independente tem a forma clássica
onde os
são determinados por outro sistema de recorrência (não pedido).
Resposta
(a)
com
e
.
(b)
(b)
forma típica de segunda solução em caso de raiz dupla do indicial.