Questão 4 (2,0 pontos)
Resolva o problema da valor inicial
(y^prime)^4 y^prime prime=(y^prime)^6y-2 , y(0)=3 , y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
l(y'(x)r)^4y''(x)=l(y'(x)r)^6y(x)-2, y(0)=3, y'(0)=2
O conteúdo principal é reduzir a ordem da EDO usando a substituição p=y' e depois separar variáveis.

Passo 2

Definimos p(y)=y'(x). Como
y''(x)=dpdx=dpdydydx=p,dpdy,
podemos reescrever a EDO original em termos de p e y.

Passo 3

Substituindo na equação:
l(pr)^4l(p,tfracdpdyr) =p^6y-2,
isto é,
p^5dpdy=p^6y-2
Como pneq0 perto da condição inicial, dividimos por p^5:
dpdy=py-2

Passo 4

Essa é uma equação separável:
dpp=dyy-2
Integrando ambos os lados,
ln|p|=ln|y-2|+C1 Longrightarrow p=C1(y-2)

Passo 5

Voltando à variável y, temos
y' = p = C1(y-2)
Novamente EDO separável:
dyy-2=C1,dx
Integrando,
ln|y-2|=C1x+C2 Longrightarrow y-2=C3e^C1x

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. Em x=0, y(0)=3
3-2=C3e^0 Longrightarrow C3=1
E y'(0)=2 implica
y'(0)=C1(y(0)-2)=C1cdot1=2 Longrightarrow C1=2

Passo 7

Substituindo C1=2 e C3=1, obtemos a solução explícita:
y(x)=2+e^2x

Resposta

y(x)=2+e^2x

Exercícios relacionados