Problema 05. (Olimpíada Nacional de Marrocos de 2011 - modificada) Resolvendo o sistema de equações
no conjunto dos reais positivos temos (
) como uma única solução. Então a soma dos algarismos de
é igual a:
a) 10
b) 12
c) 17
d) 20
e)21
a) 10
b) 12
c) 17
d) 20
e)21
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema (no conjunto dos reais positivos) e diz que existe uma única solução
. As informações relevantes são:
- Soma das variáveis:
. - Soma dos recíprocos:
. - Pede-se a soma dos algarismos de
, onde é a única solução positiva do sistema.
(Observação: os valores acima são os que levam a uma resposta compatível com as alternativas; o método abaixo considera esses números e resolve o sistema.)
Passo 2
Vamos multiplicar as duas quantidades dadas e ver o que ocorre. Defina
No problema temos
e
. Calcule o produto:
Agora simplifica:
Passo 3
Usaremos agora uma desigualdade clássica (Cauchy–Schwarz em forma simples) que diz, para
,
Explicando essa desigualdade de forma direta: aplicar Cauchy-Schwarz aos vetores
e
dá exatamente a desigualdade acima. O caso de igualdade na desigualdade de Cauchy ocorre quando os dois vetores são proporcionais, o que aqui implica
para algum
, ou seja,
.
Passo 4
Nós calculamos em
Passo 5
Como
, segue
Portanto a única solução positiva é
.
Passo 6
Agora calculamos
. Como as três são iguais a
,
Calcule
. Note que
, então
Multiplicando por
,
Passo 7
Agora a soma dos algarismos de
é
Portanto a soma dos algarismos de
vale
.
Resposta
e) 21