Problema 03. (Olimpíada Nacional do Uzbequistão de 2014 - modificado) Um círculo passa pelos vértices A, C do triângulo ABC e intersecta os lados AB e BC nos pontos D e E respectivamente.
Sabendo que \frac{B D}{C E}=\frac{3}{2}
B E=4, A D=5 \text { e } A C=2 \sqrt{7} \text {. }
Então o valor do cosseno do ângulo BDC vale:
a) -\frac{\sqrt{3}}{4}
b) -\frac{\sqrt{2}}{4}
c) \frac{1}{3}
d) \frac{\sqrt{3}}{3}
e) -\frac{1}{4}
Passo 1
O enunciado dá um triângulo ABC e um círculo que passa por A e C e corta os lados AB e BC novamente em D e E, respectivamente. As informações numéricas fornecidas são:
\dfrac{BD}{CE}=\dfrac{3}{2}.
BE=4.
AD=5.
AC=2\sqrt{7}.
O que o problema pede: calcular o cosseno do ângulo \angle BDC.
Informações úteis que podemos extrair diretamente (sem ainda resolver):
BD e CE são proporcionais como 3:2, então podemos escrever BD=3k e CE=2k para algum k>0.
AD=5 dá AB=AD+DB=5+BD.
BE=4 e CE dão BC=BE+CE=4+CE.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Usar o teorema do poder de um ponto (power of a point) em B.
Explicando a ideia (aula rápida): se um ponto exterior P determina duas secantes que cortam uma circunferência em X,Y e U,V (com PX\cdot PY = PU\cdot PV), então o produto dos segmentos de uma secante é igual ao produto dos segmentos da outra secante. No nosso caso, a partir de B saem duas secantes que cortam a circunferência em A e D (pela reta AB) e em E e C (pela reta BC). Assim vale
AB = 5 + BD = 5+3 = 8,\qquad BC = BE + CE = 4+2 = 6.
Passo 3
Escolher método para encontrar \cos\angle BDC.
Raciocínio (didático e prático): conhecendo as posições relativas (os comprimentos AB,BC,AC e também BD) é muito conveniente colocar o triângulo no plano com coordenadas: colocar B na origem e A sobre o eixo x. Assim conseguimos coordenadas explícitas para A,C,D e calcular \cos\angle BDC usando produto escalar (dot product). Vou explicar cada ferramenta usada.
Ferramentas que vou usar e por que:
Lei dos cossenos para encontrar \cos\angle B a partir dos lados AB,BC,AC.
Coordenadas: colocar B=(0,0), A=(AB,0)=(8,0). Então C=(BC\cos B,\,BC\sin B).
Produto escalar: se \vec{u} e \vec{v} são vetores, então \vec{u}\cdot\vec{v} = \lVert \vec{u}\rVert\lVert \vec{v}\rVert\cos\theta, daí \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert}. Isso permite calcular o cosseno do ângulo entre os vetores \overrightarrow{DB} e \overrightarrow{DC}.
Passo 4
Aplicar a lei dos cossenos para achar \cos\angle B.