Problema 03. (Olimpíada Nacional do Uzbequistão de 2014 - modificado) Um círculo passa pelos vértices A, C do triângulo ABC e intersecta os lados AB e BC nos pontos D e E respectivamente.
Sabendo que \frac{B D}{C E}=\frac{3}{2}
B E=4, A D=5 \text { e } A C=2 \sqrt{7} \text {. }
Então o valor do cosseno do ângulo BDC vale:
a) -\frac{\sqrt{3}}{4}
b) -\frac{\sqrt{2}}{4}
c) \frac{1}{3}
d) \frac{\sqrt{3}}{3}
e) -\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e um círculo que passa por A e C e corta os lados AB e BC novamente em D e E, respectivamente. As informações numéricas fornecidas são:
  • \dfrac{BD}{CE}=\dfrac{3}{2}.
  • BE=4.
  • AD=5.
  • AC=2\sqrt{7}.
O que o problema pede: calcular o cosseno do ângulo \angle BDC.
Informações úteis que podemos extrair diretamente (sem ainda resolver):
  • BD e CE são proporcionais como 3:2, então podemos escrever BD=3k e CE=2k para algum k>0.
  • AD=5 AB=AD+DB=5+BD.
  • BE=4 e CE dão BC=BE+CE=4+CE.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Usar o teorema do poder de um ponto (power of a point) em B.
Explicando a ideia (aula rápida): se um ponto exterior P determina duas secantes que cortam uma circunferência em X,Y e U,V (com PX\cdot PY = PU\cdot PV), então o produto dos segmentos de uma secante é igual ao produto dos segmentos da outra secante. No nosso caso, a partir de B saem duas secantes que cortam a circunferência em A e D (pela reta AB) e em E e C (pela reta BC). Assim vale
BA\cdot BD = BE\cdot BC.
Agora aplicando com as incógnitas em função de k:
  • BD = 3k.
  • CE = 2k.
  • AB = AD + BD = 5 + 3k.
  • BC = BE + CE = 4 + 2k.
  • BE = 4.
Substituindo na relação do poder de um ponto:
(5+3k)\cdot(3k) = 4\cdot(4+2k).
Desenvolvendo:
15k + 9k^{2} = 16 + 8k.
Reorganizando:
9k^{2} + 7k - 16 = 0.
Resolver essa quadrática. O discriminante é
\Delta = 7^{2} - 4\cdot9\cdot(-16) = 49 + 576 = 625 = 25^{2}.
As raízes são
k = \dfrac{-7\pm25}{18}.
A única raiz positiva é
k = \dfrac{-7+25}{18} = \dfrac{18}{18} = 1.
Portanto
BD = 3k = 3,\qquad CE = 2k = 2.
E assim
AB = 5 + BD = 5+3 = 8,\qquad BC = BE + CE = 4+2 = 6.

Passo 3

Escolher método para encontrar \cos\angle BDC.
Raciocínio (didático e prático): conhecendo as posições relativas (os comprimentos AB,BC,AC e também BD) é muito conveniente colocar o triângulo no plano com coordenadas: colocar B na origem e A sobre o eixo x. Assim conseguimos coordenadas explícitas para A,C,D e calcular \cos\angle BDC usando produto escalar (dot product). Vou explicar cada ferramenta usada.
Ferramentas que vou usar e por que:
  • Lei dos cossenos para encontrar \cos\angle B a partir dos lados AB,BC,AC.
  • Coordenadas: colocar B=(0,0), A=(AB,0)=(8,0). Então C=(BC\cos B,\,BC\sin B).
  • Produto escalar: se \vec{u} e \vec{v} são vetores, então \vec{u}\cdot\vec{v} = \lVert \vec{u}\rVert\lVert \vec{v}\rVert\cos\theta, daí \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert}. Isso permite calcular o cosseno do ângulo entre os vetores \overrightarrow{DB} e \overrightarrow{DC}.

Passo 4

Aplicar a lei dos cossenos para achar \cos\angle B.
A lei dos cossenos no triângulo ABC diz:
AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle B.
Substituindo AB=8, BC=6, AC^{2}=(2\sqrt{7})^{2}=28,
28 = 8^{2} + 6^{2} - 2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos\angle B.
Calculando:
28 = 64 + 36 - 96\cos\angle B \quad\Rightarrow\quad 96\cos\angle B = 100 - 28 = 72.
Logo
\cos\angle B = \dfrac{72}{96} = \dfrac{3}{4}.
Assim \sin\angle B = \sqrt{1-\cos^{2}\angle B} = \sqrt{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 5

Colocar coordenadas dos pontos.
Escolhas:
B=(0,0),\qquad A=(8,0).
Como C está a distância BC=6 de B e forma ângulo \angle B com o eixo x, suas coordenadas são
C = \bigl(6\cos\angle B,\; 6\sin\angle B\bigr) = \bigl(6\cdot\dfrac{3}{4},\;6\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{4}\bigr) = \bigl(\tfrac{9}{2},\; \tfrac{3}{2}\sqrt{7}\bigr).
Agora os pontos D e E:
  • D está em AB a distância BD=3 de B sobre o eixo x. Então
D=(3,0).
  • E está em BC a distância BE=4 do ponto B. Como C está a 6 de B, E é o ponto \tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3} do caminho de B até C. Assim
E=\tfrac{2}{3}C=\Bigl( \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{9}{2},\; \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{3}{2}\sqrt{7}\Bigr) = (3,\; \sqrt{7} ).
(Verificação rápida: a coordenada y de E é \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{3}{2}\sqrt{7}=\sqrt{7}, consistente.)

Passo 6

Calcular \cos\angle BDC por produto escalar.
Os vetores relevantes (tomando origem em D) são:
\overrightarrow{DB} = B - D = (0-3,\;0-0) = (-3,0),
\overrightarrow{DC} = C - D = \Bigl(\tfrac{9}{2}-3,\; \tfrac{3}{2}\sqrt{7}-0\Bigr) = \Bigl(\tfrac{3}{2},\; \tfrac{3}{2}\sqrt{7}\Bigr).
Produto escalar:
\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC} = (-3)\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right) + 0\cdot\left(\tfrac{3}{2}\sqrt{7}\right) = -\dfrac{9}{2}.
Normas:
\lVert\overrightarrow{DB}\rVert = 3,
\lVert\overrightarrow{DC}\rVert^{2} = \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} + \left(\tfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)^{2} = \dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4}\cdot 7 = \dfrac{9}{4}(1+7) = \dfrac{9}{4}\cdot 8 = 18,
logo \lVert\overrightarrow{DC}\rVert = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.
Portanto
\cos\angle BDC = \dfrac{\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}}{\lVert\overrightarrow{DB}\rVert\lVert\overrightarrow{DC}\rVert} = \dfrac{-\dfrac{9}{2}}{3\cdot 3\sqrt{2}} = \dfrac{-\dfrac{9}{2}}{9\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
Simplificando:
-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

b) -\dfrac{\sqrt{2}}{4}

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