Problema 06 Mostre que a função racional imprópria f(x)=(a x+b)(c x+d), com c neq 0, pode ser reescrita como f(x)=alpha+beta(c x+d), isto é, f(x) é uma soma de um polinômio de grau zero e uma função racional própria. Ache as constantes alpha e beta em função de a, b, c e d.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional imprópria
f(x)=a x+bc x+d,
com cneq0, e pede para escrevê-la na forma
f(x)=alpha+betac x+d,
ou seja, obter um quociente constante alpha e um resto beta sobre o mesmo denominador. O conteúdo aqui é divisão de polinômios (grau 1 por grau 1).

Passo 2

Para encontrar alpha e beta, suponha que
a x+bc x+d = alpha + betac x+d
Multiplicando ambos os lados por c x+d, obtemos a identidade em x:
a x + b = alpha,(c x + d) + beta

Passo 3

Expanda o lado direito:
a x + b = alpha c,x + alpha d + beta
Como isso vale para todo x, igualamos coeficientes de x e termos constantes:
a = alpha,c, b = alpha,d + beta

Passo 4

Da primeira igualdade vem
alpha = ac
Substituindo em b = alpha d + beta
beta = b - alpha,d = b - ac,d = b,c - a,dc

Resposta

alpha = ac, beta = b,c - a,dc

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