Exercício 4. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 4 e 7)
Mostre que se A é um aberto de R^n e x in A, então A backslashx é aberto. Mostre que se F é um fechado de R^n e x notin F, então F cupx é fechado.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades em R^n:
– Se AsubsetR^n é aberto e xin A, então Asetminusx é aberto.
– Se FsubsetR^n é fechado e xnotin F, então Fcupx é fechado.
Vamos usar a definição de conjunto aberto via bolas métricas e a definição de conjunto fechado como complemento de um aberto.

Passo 2

Prova de que Asetminusx é aberto.
Seja yin Asetminusx. Como A é aberto, existe de<a>0 tal que
Bde<a(y)=zinR^n:|z-y|<de<asubset A
Além disso, yneq x implica |y-x|>0. Definimos
varepsilon=minde<a,|y-x|>0
Então, para todo zin Bvarepsilon(y) temos
  1. |z-y|<varepsilon<=de<a, logo zin A.
  2. |z-y|<varepsilon<=|y-x| implica zneq x.
    Assim Bvarepsilon(y)subset Asetminusx. Como fizemos isso para qualquer yin Asetminusx, concluímos que Asetminusx é aberto.

Passo 3

Prova de que Fcupx é fechado.
Como F é fechado, o complemento
U=R^nsetminus F
é aberto. E xnotin F implica xin U. Aplicando o resultado do passo 2 a U, obtemos
Usetminusx=(R^nsetminus F)setminusx
é aberto. Mas
(R^nsetminus F)setminusx=R^nsetminusl(Fcupxr),
logo o complemento de Fcupx é aberto. Isso mostra que Fcupx é fechado.

Resposta

Asetminusx é aberto e Fcupx é fechado.

Exercícios relacionados