Exercício 4. (Apostol, capítulo 8.5, exercício 4 e 7)
Mostre que se
é um aberto de
e
, então
é aberto. Mostre que se
é um fechado de
e
, então
é fechado.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para provar duas propriedades em
:
– Se é aberto e
, então
é aberto.
– Se é fechado e
, então
é fechado.
Vamos usar a definição de conjunto aberto via bolas métricas e a definição de conjunto fechado como complemento de um aberto.
– Se
– Se
Vamos usar a definição de conjunto aberto via bolas métricas e a definição de conjunto fechado como complemento de um aberto.
Passo 2
Prova de que
é aberto.
Seja . Como
é aberto, existe
tal que
Seja
Além disso,
implica
. Definimos
Então, para todo
temos
-
, logo . -
implica .
Assim. Como fizemos isso para qualquer , concluímos que é aberto.
Passo 3
Prova de que
é fechado.
Como é fechado, o complemento
Como
é aberto. E
implica
. Aplicando o resultado do passo 2 a
, obtemos
é aberto. Mas
logo o complemento de
é aberto. Isso mostra que
é fechado.