[Problema 10.18, Porto (2006)]. O canalete de concreto do Laboratório de Hidráulica da EESC possui seção útil de 21 cm de largura por 35 cm de altura. Para uma vazão de 12 l / s, a altura dágua no canalete é de 8 cm . Determine:
b) Qual a máxima altura de um vertedor retangular de parede espessa (degrau), a ser colocado no fundo do canalete, para que com a vazão de 12 l/s não extravase para fora. Despreze as perdas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre hidráulica, especificamente sobre o cálculo de uma estrutura chamada vertedor retangular em um canalete de concreto. Temos um canalete com seção útil de 21 cm de largura e 35 cm de altura, e quando a vazão é de 12 litros por segundo, a altura da água é de 8 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a altura máxima desse vertedor retangular que será colocado no fundo do canalete, de modo que, com essa vazão de 12 l/s, a água não transborde para fora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de escoamento sobre vertedouros retangulares e algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um vertedor retangular. É uma estrutura que permite que a água passe de um lado para o outro quando atinge uma certa altura, controlando assim o nível da água no canal. Para calcular a altura máxima do vertedor, usamos a equação do fluxo sobre um vertedor retangular, que relaciona a vazão (Q), a largura do vertedor (b) e a altura da água acima do vertedor (H).
A fórmula que vamos usar é:
Q = 23 C b H^3/2
Onde:
  • $ Q $ é a vazão (em m³/s),
  • $ C $ é o coeficiente de descarga (sem dimensão),
  • $ b $ é a largura do vertedor (em metros),
  • $ H $ é a altura da água sobre o vertedor (em metros).

Passo 3

Vamos organizar os dados que temos:
  • Vazão $ Q = 12 $ litros por segundo = 0,012 m³/s (pois 1 litro = 0,001 m³),
  • Largura do canal e, portanto, do vertedor $ b = 21 $ cm = 0,21 m,
  • Altura da água no canal $ h = 8 $ cm = 0,08 m.
Como o vertedor será colocado no fundo do canal, a altura da água sobre o vertedor $ H $ será a diferença entre a altura da água no canal e a altura do vertedor $ h $:
Q = 12
Nosso objetivo é encontrar o valor máximo de $ h $ que satisfaça a equação da vazão sem que a água transborde.

Passo 4

Vamos assumir que o coeficiente de descarga $ C $ é aproximadamente 1,7 para um vertedor retangular padrão. Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
C
Primeiro, vamos calcular o produto dos coeficientes:
0,012 = 23 times 1,7 times 0,21 times H^3/2
Então, a equação fica:
23 times 1,7 times 0,21 approx 0,238

Passo 5

Agora, isolamos $ H^{3/2} $:
H^3/2
Para encontrar $ H $, elevamos ambos os lados da equação à potência de $ \frac{2}{3} $:
H^3/2 = 0,0120,238 approx 0,0504
Calculando isso:
H
Ou seja, $ H \approx 16,0 $ cm.

Passo 6

Lembrando que $ H = 0,08 , m - h $, podemos rearranjar para encontrar $ h $:
H = 0,08 , m - h
Substituindo $ H $:
h
Isso não faz sentido, pois a altura não pode ser negativa. Isso indica que assumimos um valor de $ C $ incorreto ou que a altura do vertedor precisa ser zero para evitar transbordamento, o que não é prático. Portanto, precisamos revisar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos reconsiderar a fórmula do vertedor retangular. A equação correta para a vazão sobre um vertedor retangular, sem considerar o coeficiente de descarga, é:
Q = b times H times raiz2gH
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $),
  • $ H $ é a altura da água sobre o vertedor.
Reorganizando para encontrar $ H $:
g
approx 9,81 , m/s^2
H
H
Vamos usar essa fórmula agora.

Passo 8

Substituindo os valores:
Q = 0,012 , m^3/s
b = 0,21 , m
g = 9,81 , m/s^2
Calculamos $ \sqrt{2g} $:
raiz2g
Agora, substituímos na fórmula:
raiz2 times 9,81 approx raiz19,62 approx 4,43 , m^1/2/s
Calculando o denominador:
H = ( 0,0120,21 times 4,43 )^23
Então:
0,21 times 4,43 approx 0,930
H = ( 0,0120,930 )^23
H = (0,0129)^0,6667 approx 0,038 , m

Passo 9

Agora, lembrando que $ H = 8 , cm - h $:
H = 8 , cm - h
3,8 , cm = 8 , cm - h
h = 8 , cm - 3,8 , cm

Resposta

A máxima altura do vertedor retangular que deve ser colocado no fundo do canalete é de 4,2 centímetros.

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