[Problema 3.23, Chaudhry (2008)]. A velocidade e a profundidade do fluxo em um canal retangular de 5 m de largura são de 1,5 m/s e 4 m , respectivamente. Projete uma transição convergente para que o fluxo seja crítico na transição. Suponha que o fundo do canal seja horizontal e que as perdas na transição sejam insignificantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para projetar uma transição convergente em um canal retangular de 5 metros de largura, onde a velocidade do fluxo é de 1,5 m/s e a profundidade é de 4 metros. A ideia é fazer com que o fluxo se torne crítico nessa transição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados ao fluxo crítico e número de Froude. Precisamos entender como ajustar as dimensões da transição para atingir essa condição crítica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo crítico. O fluxo crítico ocorre quando a velocidade do fluxo (
) é igual à velocidade das ondas na água, que é dada pela raiz de
, onde
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade do fluxo. Ou seja:
Quando
, o fluxo é crítico.
Passo 3
No nosso caso, queremos que o fluxo na transição seja crítico. Isso significa que na transição, a velocidade do fluxo deve satisfazer:
Portanto, a velocidade crítica é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a continuidade do fluxo. A continuidade nos diz que o produto da área da seção transversal (
) e a velocidade do fluxo (
) é constante ao longo do canal, assumindo que a largura é constante e não há perdas. Matemáticamente:
Como o canal é retangular, a área
é dada por:
Então, temos:
Como a largura
é constante e igual a 5 m, podemos simplificar:
Passo 5
Substituindo
da Passo 3 na equação acima:
Sabemos que
,
, e
. Vamos resolver para
:
Passo 6
Vamos simplificar a equação. Primeiro, expressamos a raiz quadrada como potência:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Então,
Passo 8
Agora que temos a profundidade crítica (
), podemos determinar a velocidade crítica:
Resposta
A profundidade crítica na transição convergente é aproximadamente
e a velocidade crítica é aproximadamente
.