[Problema 3.23, Chaudhry (2008)]. A velocidade e a profundidade do fluxo em um canal retangular de 5 m de largura são de 1,5 m/s e 4 m , respectivamente. Projete uma transição convergente para que o fluxo seja crítico na transição. Suponha que o fundo do canal seja horizontal e que as perdas na transição sejam insignificantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para projetar uma transição convergente em um canal retangular de 5 metros de largura, onde a velocidade do fluxo é de 1,5 m/s e a profundidade é de 4 metros. A ideia é fazer com que o fluxo se torne crítico nessa transição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados ao fluxo crítico e número de Froude. Precisamos entender como ajustar as dimensões da transição para atingir essa condição crítica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo crítico. O fluxo crítico ocorre quando a velocidade do fluxo ( v) é igual à velocidade das ondas na água, que é dada pela raiz de g cdot d, onde g é a aceleração da gravidade e d é a profundidade do fluxo. Ou seja:
Froude number (Fr) = vraizg cdot d
Quando Fr = 1, o fluxo é crítico.

Passo 3

No nosso caso, queremos que o fluxo na transição seja crítico. Isso significa que na transição, a velocidade do fluxo deve satisfazer:
Fr = vcríticoraizg cdot dcrítico = 1 íí
Portanto, a velocidade crítica é:
vcrítico = raizg cdot dcrítico íí

Passo 4

Agora, vamos aplicar a continuidade do fluxo. A continuidade nos diz que o produto da área da seção transversal ( A) e a velocidade do fluxo ( v) é constante ao longo do canal, assumindo que a largura é constante e não há perdas. Matemáticamente:
A cdot v = constante
Como o canal é retangular, a área A é dada por:
A = largura times profundidade = B cdot d
Então, temos:
B cdot d cdot v = B cdot dcrítico cdot vcrítico íí
Como a largura B é constante e igual a 5 m, podemos simplificar:
d cdot v = dcrítico cdot vcrítico íí

Passo 5

Substituindo vcríticoí da Passo 3 na equação acima:
d cdot v = dcrítico cdot raizg cdot dcrítico íí
Sabemos que v = 1,5 , m/s, d = 4 , m, e g approx 9,81 , m/s^2. Vamos resolver para dcríticoí:
4 cdot 1,5 = dcrítico cdot raiz9,81 cdot dcrítico íí
6 = dcrítico cdot raiz9,81 cdot dcrítico íí

Passo 6

Vamos simplificar a equação. Primeiro, expressamos a raiz quadrada como potência:
6 = dcrítico cdot (9,81 cdot dcrítico)^1/2 íí
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
36 = dcrítico^2 cdot 9,81 cdot dcrítico íí
36 = 9,81 cdot dcrítico^3 í

Passo 7

Agora, isolamos dcríticoí:
dcrítico^3 = 369,81 í
dcrítico^3 approx 3,669 í
Então,
dcrítico = raiz[3]3,669 approx 1,54 , m í

Passo 8

Agora que temos a profundidade crítica ( dcrítico approx 1,54 , mí), podemos determinar a velocidade crítica:
vcrítico = raiz9,81 cdot 1,54 approx raiz15,11 approx 3,89 , m/s í

Resposta

A profundidade crítica na transição convergente é aproximadamente 1,54 , metros e a velocidade crítica é aproximadamente 3,89 , m/s.

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