[Problema 10.3, Porto (2006)]. A água está escoando com a velocidade média de
e altura dágua de
em um canal retangular de
de largura. Determine a nova altura dágua produzida por:
a) Uma contração suave para uma largura de 1,7 m;
b) Uma expansão suave para uma largura de 2,3 m.
c) Calcule também a maior contração admissível na largura, para que não alterar as condições de escoamento a montante.
a) Uma contração suave para uma largura de 1,7 m;
b) Uma expansão suave para uma largura de 2,3 m.
c) Calcule também a maior contração admissível na largura, para que não alterar as condições de escoamento a montante.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse problema sobre o escoamento da água em um canal. A gente tem uma água passando com velocidade média de
e uma altura d’água de
num canal retangular que tem largura de
. A missão é descobrir como essa altura d’água muda quando a largura do canal sofre uma contração ou expansão suave. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de continuidade de fluxo e conservação da energia, que são fundamentais na hidráulica de canais abertos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a vazão inicial da água no canal. A vazão (
) é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a largura do canal, -
é a velocidade da água, -
é a altura d’água.
Substituindo os valores que temos:
Então, a vazão é constante em
.
Passo 3
Agora, vamos para a letra a), onde o canal sofre uma contração suave para uma largura de
. Como a vazão deve se manter constante, a nova altura d’água (
) vai mudar para compensar a redução da largura. A fórmula da vazão fica:
Como
e
, podemos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Mas para simplificar, vamos assumir que a velocidade da água não muda muito com a contração suave (uma aproximação válida para pequenas variações). Assim:
Então, a nova altura d’água após a contração é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos para a letra b), onde o canal sofre uma expansão suave para uma largura de
. Novamente, mantendo a vazão constante:
Assumindo que a velocidade não muda muito:
Portanto, a nova altura d’água após a expansão é aproximadamente
.
Passo 5
Por fim, na letra c), queremos saber qual é a maior contração admissível na largura do canal para que as condições de escoamento a montante não sejam alteradas. Isso significa que a altura d’água não deve mudar, ou seja,
. Usando a fórmula da vazão:
Substituindo os valores:
Então, a maior largura que a contração pode ter para não alterar as condições de escoamento é exatamente
, ou seja, não pode haver contração.
Resposta
a) A nova altura d’água após a contração para
é aproximadamente
.
b) A nova altura d’água após a expansão para
é aproximadamente
.
c) A maior contração admissível na largura, para manter as condições de escoamento a montante, é
.