[Problema 10.3, Porto (2006)]. A água está escoando com a velocidade média de 1,0 m / s e altura dágua de 1,0 m em um canal retangular de 2,0 m de largura. Determine a nova altura dágua produzida por:
a) Uma contração suave para uma largura de 1,7 m;
b) Uma expansão suave para uma largura de 2,3 m.
c) Calcule também a maior contração admissível na largura, para que não alterar as condições de escoamento a montante.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse problema sobre o escoamento da água em um canal. A gente tem uma água passando com velocidade média de 1,0 , m/s e uma altura d’água de 1,0 , m num canal retangular que tem largura de 2,0 , m. A missão é descobrir como essa altura d’água muda quando a largura do canal sofre uma contração ou expansão suave. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de continuidade de fluxo e conservação da energia, que são fundamentais na hidráulica de canais abertos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a vazão inicial da água no canal. A vazão ( Q) é dada pela fórmula:
Q = B times v times h
Onde:
  • B é a largura do canal,
  • v é a velocidade da água,
  • h é a altura d’água.
Substituindo os valores que temos:
Q = 2,0 , m times 1,0 , m/s times 1,0 , m = 2,0 , m^3/s
Então, a vazão é constante em 2,0 , m^3/s.

Passo 3

Agora, vamos para a letra a), onde o canal sofre uma contração suave para uma largura de 1,7 , m. Como a vazão deve se manter constante, a nova altura d’água ( h') vai mudar para compensar a redução da largura. A fórmula da vazão fica:
Q = B' times v' times h'
Como Q = 2,0 , m^3/s e B' = 1,7 , m, podemos rearranjar a fórmula para encontrar h':
h' = QB' times v'
Mas para simplificar, vamos assumir que a velocidade da água não muda muito com a contração suave (uma aproximação válida para pequenas variações). Assim:
h' = 2,01,7 times 1,0 approx 1,176 , m
Então, a nova altura d’água após a contração é aproximadamente 1,176 , m.

Passo 4

Agora, vamos para a letra b), onde o canal sofre uma expansão suave para uma largura de 2,3 , m. Novamente, mantendo a vazão constante:
h'' = QB'' times v''
Assumindo que a velocidade não muda muito:
h'' = 2,02,3 times 1,0 approx 0,870 , m
Portanto, a nova altura d’água após a expansão é aproximadamente 0,870 , m.

Passo 5

Por fim, na letra c), queremos saber qual é a maior contração admissível na largura do canal para que as condições de escoamento a montante não sejam alteradas. Isso significa que a altura d’água não deve mudar, ou seja, h' = 1,0 , m. Usando a fórmula da vazão:
Bmax = Qv times h
Substituindo os valores:
Bmax = 2,01,0 times 1,0 = 2,0 , m
Então, a maior largura que a contração pode ter para não alterar as condições de escoamento é exatamente 2,0 , m, ou seja, não pode haver contração.

Resposta

a) A nova altura d’água após a contração para 1,7 , m é aproximadamente 1,176 , m.
b) A nova altura d’água após a expansão para 2,3 , m é aproximadamente 0,870 , m.
c) A maior contração admissível na largura, para manter as condições de escoamento a montante, é 2,0 , m.

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