Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
13 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+7 y^{2}=256

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
13x^{2}-6\sqrt{3}\,xy+7y^{2}=256
e pede para identificar os coeficientes A, B e C da forma geral
A x^{2}+B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0
e usar o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC
para decidir qual cônica ela representa. Lembrando a classificação: se \Delta<0 temos elipse (ou círculo, se A=C e B=0); se \Delta=0 parábola; se \Delta>0 hipérbole.

Passo 2

Comparando
13x^{2}-6\sqrt{3}\,xy+7y^{2}-256=0
com a forma geral, vemos que
A = 13,\quad B = -6\sqrt{3},\quad C = 7.
Logo,
B^{2} = \bigl(-6\sqrt{3}\bigr)^{2} = 36\cdot3 = 108,
4AC = 4\cdot13\cdot7 = 364,
\Delta = B^{2}-4AC = 108 - 364 = -256.

Passo 3

Como \Delta = -256<0 e A e C são ambos positivos, a cônica é uma elipse. Note que, como B\neq0, trata-se de uma elipse rotacionada em relação aos eixos coordenados.

Resposta

A equação representa uma elipse (rotacionada).

Exercícios relacionados