Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
34 x^{2}-24 x y+41 y^{2}=25

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de uma cônica
A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0
e pede para identificar A, B, C na cônica
34x^{2} - 24xy + 41y^{2} = 25
e usar o discriminante \Delta = B^{2} - 4AC para decidir de que tipo de cônica se trata.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação no formato geral igual a zero:
34x^{2} - 24xy + 41y^{2} - 25 = 0.
Comparando com A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0, temos
A = 34,
B = -24,
C = 41.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = B^{2} - 4AC = (-24)^{2} - 4 \cdot 34 \cdot 41.
Em detalhe:
(-24)^{2} = 576,
4 \cdot 34 \cdot 41 = 4 \cdot 1394 = 5576,
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\Delta = 576 - 5576 = -5000.

Passo 4

Como \Delta < 0 e A e C são ambos positivos, a cônica é uma elipse (rotacionada, já que B\neq0).

Resposta

A cônica é uma elipse.

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