Problema 10: Se a é um número real sabemos que
Le^a t f(t)=F(s-a),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado em cada caso para encontrar a transformada de Laplace:
Le^t t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ e^{t} t^{2} $. Para isso, vamos usar uma fórmula que relaciona a transformada de uma função multiplicada por um exponencial com a transformada original da função. Então, vamos precisar entender como aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a função $ f(t) $ que está sendo multiplicada por $ e^{a t} $. No nosso caso, temos $ e^{t} t^{2} $, então:
  • $ a = 1 $ (porque está como $ e^{1 \cdot t} $)
  • $ f(t) = t^{2} $

Passo 3

Agora, precisamos achar a transformada de Laplace de $ f(t) = t^{2} $, que é $ F(s) = \mathcal{L}{t^{2}} $. Sabemos que:
f(t) = t^2
No nosso caso, $ n = 2 $, então:
F(s) = Lt^2

Passo 4

Com a fórmula que relaciona a transformada de $ e^{a t} f(t) $ com $ F(s - a) $, temos:
e^a t f(t)
Substituindo os valores que encontramos:
  • $ a = 1 $
  • $ F(s) = \frac{2}{s^{3}} $

Passo 5

Agora, substituímos $ s - a $ na expressão de $ F(s) $:
s - a

Resposta

A transformada de Laplace de $ e^{t} t^{2} $ é:
e^t t^2

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