Problema 10: Se
é um número real sabemos que
em que
. Aplique esse resultado em cada caso para encontrar a transformada de Laplace:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ e^{t} t^{2} $. Para isso, vamos usar uma fórmula que relaciona a transformada de uma função multiplicada por um exponencial com a transformada original da função. Então, vamos precisar entender como aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a função $ f(t) $ que está sendo multiplicada por $ e^{a t} $. No nosso caso, temos $ e^{t} t^{2} $, então:
- $ a = 1 $ (porque está como $ e^{1 \cdot t} $)
- $ f(t) = t^{2} $
Passo 3
Agora, precisamos achar a transformada de Laplace de $ f(t) = t^{2} $, que é $ F(s) = \mathcal{L}{t^{2}} $. Sabemos que:
No nosso caso, $ n = 2 $, então:
Passo 4
Com a fórmula que relaciona a transformada de $ e^{a t} f(t) $ com $ F(s - a) $, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
- $ a = 1 $
- $ F(s) = \frac{2}{s^{3}} $
Passo 5
Agora, substituímos $ s - a $ na expressão de $ F(s) $:
Resposta
A transformada de Laplace de $ e^{t} t^{2} $ é: