Problema 8: Encontre
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função $ F(s) = \frac{3}{s} + \frac{5}{s^{2}} - \frac{7}{s-1} $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais ou Análise de Sistemas, onde usamos transformadas de Laplace para resolver equações mais facilmente. Vamos precisar conhecer algumas transformadas básicas e lembrar que a transformada inversa é linear, ou seja, a transformada de uma soma é a soma das transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar cada termo da função $ F(s) $ para encontrar a transformada inversa de cada parte individualmente. Assim, temos três termos para lidar:
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são as transformadas inversas básicas que vamos usar:
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} = 1 $
- $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s{2}}\right} = t $
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s-a}\right} = e^{at} $
Essas transformadas nos ajudam a converter cada termo de $ F(s) $ para o domínio do tempo.
Passo 4
Vamos aplicar a transformada inversa a cada termo:
- Para $ \frac{3}{s} $:
- Para $ \frac{5}{s^{2}} $:
- Para $ -\frac{7}{s-1} $:
Resposta
Somando todas as partes, temos que a transformada inversa de $ F(s) $ é: