Problema 8: Encontre L^-1F(s), onde
F(s)=3s+5s^2-7s-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função $ F(s) = \frac{3}{s} + \frac{5}{s^{2}} - \frac{7}{s-1} $. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais ou Análise de Sistemas, onde usamos transformadas de Laplace para resolver equações mais facilmente. Vamos precisar conhecer algumas transformadas básicas e lembrar que a transformada inversa é linear, ou seja, a transformada de uma soma é a soma das transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar cada termo da função $ F(s) $ para encontrar a transformada inversa de cada parte individualmente. Assim, temos três termos para lidar:
F(s)

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são as transformadas inversas básicas que vamos usar:
  1. $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s}\right} = 1 $
  2. $ \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{s{2}}\right} = t $
  3. $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s-a}\right} = e^{at} $
Essas transformadas nos ajudam a converter cada termo de $ F(s) $ para o domínio do tempo.

Passo 4

Vamos aplicar a transformada inversa a cada termo:
  1. Para $ \frac{3}{s} $:
3s
  1. Para $ \frac{5}{s^{2}} $:
L^-13s = 3 cdot L^-11s = 3 cdot 1 = 3
  1. Para $ -\frac{7}{s-1} $:
5s^2

Resposta

Somando todas as partes, temos que a transformada inversa de $ F(s) $ é:
F(s)

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