Problema 9: Se
é um número real. Mostre que
em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a transformada de Laplace de $ e^{a t} f(t) $ é igual a $ F(s - a) $, onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $. Basicamente, vamos trabalhar com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, queremos encontrar $ \mathcal{L}{e^{a t} f(t)} $. Vamos substituir $ e^{a t} f(t) $ na fórmula da transformada:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que $ e^{-s t} e^{a t} = e^{(a - s)t} $. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Perceba que $ e^{(a - s) t} = e^{-(s - a) t} $. Portanto, a integral pode ser reescrita como:
Passo 5
Observamos que essa última expressão é exatamente a definição da transformada de Laplace de $ f(t) $, mas com $ s $ substituído por $ s - a $. Ou seja:
Resposta
Portanto, mostramos que: