Problema 9: Se a é um número real. Mostre que
Le^a t f(t)=F(s-a),
em que F(s)=Lf(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que a transformada de Laplace de $ e^{a t} f(t) $ é igual a $ F(s - a) $, onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $. Basicamente, vamos trabalhar com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, queremos encontrar $ \mathcal{L}{e^{a t} f(t)} $. Vamos substituir $ e^{a t} f(t) $ na fórmula da transformada:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que $ e^{-s t} e^{a t} = e^{(a - s)t} $. Então, nossa integral fica:
e^-s t e^a t = e^(a - s)t

Passo 4

Perceba que $ e^{(a - s) t} = e^{-(s - a) t} $. Portanto, a integral pode ser reescrita como:
e^(a - s) t = e^-(s - a) t

Passo 5

Observamos que essa última expressão é exatamente a definição da transformada de Laplace de $ f(t) $, mas com $ s $ substituído por $ s - a $. Ou seja:
f(t)

Resposta

Portanto, mostramos que:
Le^a t f(t) = F(s - a)

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