Problema 10: Se a é um número real sabemos que
Le^a t f(t)=F(s-a),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado em cada caso para encontrar a transformada de Laplace:
Le^2 t t^2.

Passo 1

Estamos enfrentando um exercício de Transformada de Laplace, que faz parte da matéria de Equações Diferenciais. A questão nos apresenta a fórmula:
Le^a t f(t) = F(s - a),
onde F(s) = Lf(t). Nosso objetivo é utilizar essa fórmula para encontrar a transformada de Laplace de e^2 t t^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que representa f(t) na função que queremos transformar, que é e^2 t t^2. Comparando com a fórmula dada, vemos que:
  • a = 2
  • f(t) = t^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar F(s) = Lf(t) = Lt^2. Sabemos que a transformada de Laplace de t^n é dada por:
Lt^n = n!s^n+1,
onde n! é o fatorial de n. Para n = 2:
Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3
Então, F(s) = 2s^3.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula inicial substituindo a = 2 e F(s) que encontramos:
Le^2 t t^2 = F(s - 2) = 2(s - 2)^3

Resposta

A transformada de Laplace de e^2 t t^2 é:
Le^2 t t^2 = 2(s - 2)^3

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