Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.
x(x-3)(6-x)<0

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver a desigualdade x(x-3)(6-x)<0. É uma questão de análise de sinal de um produto de três fatores. Para isso, vamos achar as raízes dos fatores e montar um quadro de sinais, lembrando que o produto fica negativo quando há um número ímpar de fatores negativos.

Passo 2

Os fatores são x, x-3 e 6-x. Igualando cada um a zero, obtemos as raízes:
x=0, x=3 e x=6. Essas raízes dividem a reta real em quatro intervalos.

Passo 3

Agora analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo, escolhendo um ponto-teste e contando quantos fatores são negativos (produto é negativo se esse número for ímpar):
  • Para x<0: x<0 (negativo), x-3<0 (negativo), 6-x>0 (positivo) → 2 negativos → produto positivo.
  • Para 0: x>0 (positivo), x-3<0 (negativo), 6-x>0 (positivo) → 1 negativo → produto negativo.
  • Para 3: x>0 (positivo), x-3>0 (positivo), 6-x>0 (positivo) → 0 negativos → produto positivo.
  • Para x>6: x>0 (positivo), x-3>0 (positivo), 6-x<0 (negativo) → 1 negativo → produto negativo.

Passo 4

Como buscamos <0, selecionamos os intervalos onde o produto é negativo. E como a desigualdade é estrita, excluímos as raízes.

Resposta

(0,3)cup(6,infty)

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