Resolva as desigualdades, expressando a solução na forma de intervalo, quando possível.
(x+1)(2 x-3)x+5 >= 0

Passo 1

Vamos resolver a desigualdade racional (x+1)(2x-3)x+5 >= 0. O conteúdo envolve análise de sinais de uma função racional, identificando zeros do numerador e pontos de descontinuidade do denominador.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos, ou seja, onde o numerador e o denominador se anulam. Numerador (x+1)(2x-3) se anula em x = -1 e x = 32. Denominador x+5 se anula em x = -5, onde a expressão não existe.
Temos os pontos críticos:
x = -1, x = 32, x = -5

Passo 3

Montamos a reta numérica dividindo-a nos intervalos determinados pelos pontos -infty, -5, (-5,-1), (-1,3/2) e (3/2,infty).

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo para saber o sinal da expressão:
  • Em (-infty,-5): (x+1)<0, (2x-3)<0, (x+5)<0 (x+1)(2x-3)>0 e denom <0 ⇒ expressão <0.
  • Em (-5,-1): (x+1)<0, (2x-3)<0, (x+5)>0 (x+1)(2x-3)>0 e denom >0 ⇒ expressão >0.
  • Em (-1,3/2): (x+1)>0, (2x-3)<0, (x+5)>0 ⇒ produto <0 ⇒ expressão <0.
  • Em (3/2,infty): todos os fatores >0 ⇒ expressão >0.

Passo 5

Buscamos agora os intervalos onde (x+1)(2x-3)x+5>=0, ou seja sinal positivo ou zero. Como zeros do numerador em x=-1 e x=3/2 podem ser incluídos (denominador ≠0) e x=-5 excluído, a solução fica nos intervalos onde a expressão >0 mais os pontos de zero do numerador.

Resposta

(-5,-1]\u2229[3/2,\u221E)

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