Problema 10. Verifique se os pontos A(1,2), B(4,5) e C(7,8) são colineares. Resolva o problema por meio de vetores.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os pontos A(1,2), B(4,5) e C(7,8) são colineares, usando vetores.
Informações dadas:
Coordenadas de A são (1,2).
Coordenadas de B são (4,5).
Coordenadas de C são (7,8).
O objetivo é decidir se esses três pontos estão na mesma reta, usando operações vetoriais (subtração de coordenadas e comparação por múltiplo escalar).
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar: para dois pontos P(x_1,y_1) e Q(x_2,y_2), o vetor deslocamento de P até Q é
\overrightarrow{PQ} = (x_2-x_1,\;y_2-y_1).
Se dois vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} são múltiplos escalares um do outro, isto é, \overrightarrow{v}=t\overrightarrow{u} para algum escalar t, então eles são paralelos. No caso de \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}, ser múltiplos escalar significa que B e C estão sobre a mesma reta que sai de A — ou seja, A,B,C seriam colineares.
Passo 3
Calcular o vetor \overrightarrow{AB} usando a fórmula de subtração de coordenadas:
\overrightarrow{AB} = (4-1,\;5-2) = (3,\;3).
Passo 4
Calcular o vetor \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC} = (7-1,\;8-2) = (6,\;6).
Passo 5
Verificar se \overrightarrow{AC} é múltiplo escalar de \overrightarrow{AB}. Observa-se:
Assim, \overrightarrow{AC} é exatamente 2 vezes \overrightarrow{AB}, ou seja, os vetores são múltiplos escalares (linearmente dependentes).
Passo 6
Interpretação do resultado vetorial: como \overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AB}, o vetor que vai de A a C tem a mesma direção que o vetor que vai de A a B. Isso significa que B e C estão na mesma reta que passa por A. Uma checagem alternativa (útil para revisar) é o determinante 2×2 formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
Não existe escalar t tal que (1,1)=t(1,0) (pois as segundas componentes não se igualam), logo esses pontos não são colineares. Isso mostra a diferença prática entre ser e não ser múltiplo escalar.