Problema 11. Sejam
Decida quais pares de vetores são paralelos e quais são ortogonais. Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores
A pergunta é: decidir, entre os pares de vetores possíveis, quais são paralelos e quais são ortogonais. Os pares a analisar são:
Passo 2
Critério para testar paralelismo (explicação didática):
- Dois vetores
e são paralelos se existir um escalar tal que
ou seja, cada componente satisfaz
para
. Na prática, para checar, pode-se dividir componente a componente (quando
) e verificar se todas as razões
são iguais ao mesmo
. Se alguma razão for diferente, não são paralelos. Exemplo simples:
é
vezes
, então são paralelos.
Passo 3
Aplicando o critério ao par
:
- Comparando componentes,
Todas as razões são iguais a
. Logo
portanto
e
são paralelos (colineares). Comentário amistoso: isso significa que
aponta exatamente na mesma direção de
, só é duas vezes maior.
Passo 4
Critério para testar ortogonalidade (explicação didática):
- Dois vetores
e são ortogonais se o produto escalar (ou produto interno) for zero:
Aqui cada
e
é a componente
-ésima dos vetores. Na prática, calcula-se essa soma; se der zero, os vetores são perpendiculares (ângulo de
).
Passo 5
Calcular os produtos escalares para os pares que restam.
Para
:
Como
,
e
NÃO são ortogonais.
Para
:
Como
,
e
NÃO são ortogonais.
Observação útil (economia de cálculo): como
, tem-se
; aqui
então
, consistente.
Também vale checar que
não é múltiplo de
(para paralelismo): as razões das componentes seriam
e
, diferentes, logo
não é paralelo a
nem a
.
Passo 6
Conclusão final (resumo objetivo):
-
e são paralelos porque . - Nenhum par entre
e é ortogonal, pois os produtos escalares deram e , respectivamente (não nulos). - Portanto, o único par paralelo é
e não há pares ortogonais entre os vetores dados.
Resposta
Pares paralelos:
.\nPares ortogonais: nenhum.