Problema 11. Sejam
\vec{u}=(1,2,3), \quad \vec{v}=(2,4,6), \quad \vec{w}=(1,0,-1)
Decida quais pares de vetores são paralelos e quais são ortogonais. Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\vec{u}=(1,2,3),\qquad \vec{v}=(2,4,6),\qquad \vec{w}=(1,0,-1).
A pergunta é: decidir, entre os pares de vetores possíveis, quais são paralelos e quais são ortogonais. Os pares a analisar são:
(\vec{u},\vec{v}),\qquad (\vec{u},\vec{w}),\qquad (\vec{v},\vec{w}).

Passo 2

Critério para testar paralelismo (explicação didática):
  • Dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) são paralelos se existir um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{b}=\lambda\vec{a},
ou seja, cada componente satisfaz b_i=\lambda a_i para i=1,2,3. Na prática, para checar, pode-se dividir componente a componente (quando a_i\neq0) e verificar se todas as razões \dfrac{b_i}{a_i} são iguais ao mesmo \lambda. Se alguma razão for diferente, não são paralelos. Exemplo simples: (2,4,6) é 2 vezes (1,2,3), então são paralelos.

Passo 3

Aplicando o critério ao par (\vec{u},\vec{v}):
  • Comparando componentes,
\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{4}{2}=2,\qquad \frac{6}{3}=2.
Todas as razões são iguais a \lambda=2. Logo
\vec{v}=2\vec{u},
portanto \vec{u} e \vec{v} são paralelos (colineares). Comentário amistoso: isso significa que \vec{v} aponta exatamente na mesma direção de \vec{u}, só é duas vezes maior.

Passo 4

Critério para testar ortogonalidade (explicação didática):
  • Dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) são ortogonais se o produto escalar (ou produto interno) for zero:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0.
Aqui cada a_i e b_i é a componente i-ésima dos vetores. Na prática, calcula-se essa soma; se der zero, os vetores são perpendiculares (ângulo de 90^\circ).

Passo 5

Calcular os produtos escalares para os pares que restam.
Para (\vec{u},\vec{w}):
\vec{u}\cdot\vec{w}=1\cdot1+2\cdot0+3\cdot(-1)=1+0-3=-2.
Como -2\neq0, \vec{u} e \vec{w} NÃO são ortogonais.
Para (\vec{v},\vec{w}):
\vec{v}\cdot\vec{w}=2\cdot1+4\cdot0+6\cdot(-1)=2+0-6=-4.
Como -4\neq0, \vec{v} e \vec{w} NÃO são ortogonais.
Observação útil (economia de cálculo): como \vec{v}=2\vec{u}, tem-se \vec{v}\cdot\vec{w}=2(\vec{u}\cdot\vec{w}); aqui \vec{u}\cdot\vec{w}=-2 então \vec{v}\cdot\vec{w}=-4, consistente.
Também vale checar que \vec{w} não é múltiplo de \vec{u} (para paralelismo): as razões das componentes seriam 1/1=1 e 0/2=0, diferentes, logo \vec{w} não é paralelo a \vec{u} nem a \vec{v}.

Passo 6

Conclusão final (resumo objetivo):
  • \vec{u} e \vec{v} são paralelos porque \vec{v}=2\vec{u}.
  • Nenhum par entre (\vec{u},\vec{w}) e (\vec{v},\vec{w}) é ortogonal, pois os produtos escalares deram -2 e -4, respectivamente (não nulos).
  • Portanto, o único par paralelo é (\vec{u},\vec{v}) e não há pares ortogonais entre os vetores dados.

Resposta

Pares paralelos: (\vec{u},\vec{v}).\nPares ortogonais: nenhum.

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