Determinar se \vec{z} pertence ao subespaço gerado por \vec{u} e \vec{v} (isto é, verificar se \vec{z}\in\mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\}).
Se pertencer, escrever \vec{z} como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.
Passo 2
O significado prático de pertencer a \mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é: existem escalares a e b tais que
a\,\vec{u}+b\,\vec{v}=\vec{z}.
Isso transforma o problema em resolver para a e b a equação vetorial acima. Se houver solução, \vec{z} pertence ao subespaço; se não houver, não pertence.
Passo 3
Escrevendo a equação vetorial componente a componente:
a(1,1,0)+b(0,-1,1)=(4,1,5).
Isto dá o sistema de três equações (uma por componente):
\begin{cases} a = 4,\\[4pt] a - b = 1,\\[4pt] b = 5. \end{cases}
Expliquei cada linha: primeira componente dá a, segunda dá a menos b, terceira dá b.]
Passo 4
Do sistema já vemos duas equações que dão valores diretos:
a=4\qquad\text{e}\qquad b=5.
Agora verificamos se esses valores satisfazem a segunda equação a-b=1. Substituindo:
a-b = 4-5 = -1.
Mas a equação exige a-b=1. Como -1 \neq 1, há inconsistência: os valores obrigatórios das componentes 1 e 3 tornam impossível satisfazer a componente 2.
Passo 5
Conclusão lógica: não existem escalares a,b que façam a\,\vec{u}+b\,\vec{v}=\vec{z}. Logo \vec{z} não pode ser escrito como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}, e portanto não pertence ao subespaço gerado por eles.
Resposta
\vec{z} não pertence ao subespaço gerado por \vec{u} e \vec{v}.