Problema 7. Seja vec{u}=(a, b) um vetor não nulo em \mathbb{R}^{2}. Mostre que:
para qualquer escalar real \lambda, o vetor \lambda \vec{u} é paralelo a \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá um vetor não nulo \vec{u}=(a,b)\in\mathbb{R}^2 (ou seja, a e b não são simultaneamente zero) e pede para mostrar que, para qualquer escalar real \lambda, o vetor \lambda\vec{u} é paralelo a \vec{u}.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{u}=(a,b) é um vetor em \mathbb{R}^2 e \vec{u}\neq\vec{0}.
  • \lambda é um número real qualquer.
  • Precisa-se concluir que \lambda\vec{u} é paralelo a \vec{u}.

Passo 2

Definição usada (explicada com calma): diremos que dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos (ou colineares) se um deles é múltiplo escalar do outro. Em palavras simples: \vec{v} é paralelo a \vec{w} quando existe um número real \mu tal que \vec{v}=\mu\vec{w}.
Comentário didático: essa definição engloba o caso em que um dos vetores é o vetor nulo \vec{0}, porque \vec{0}=0\cdot\vec{w} para qualquer \vec{w}. Alguns textos exigem que os vetores sejam não nulos para falar em “direção”, mas aqui vamos usar a definição algébrica de múltiplo escalar, que é a mais direta para provar o que se pede.

Passo 3

Aplicação direta da definição: queremos mostrar que existe algum \mu\in\mathbb{R} tal que
\lambda\vec{u}=\mu\vec{u}.
Basta tomar \mu=\lambda. Então, por definição de multiplicação escalar,
\lambda\vec{u}=\lambda\vec{u},
logo existe \mu (especificamente \mu=\lambda) que multiplica \vec{u} para obter \lambda\vec{u}. Assim, segundo a definição, \lambda\vec{u} é paralelo a \vec{u}.
Comentário didático: essa etapa é praticamente imediata — mostrar que um vetor é múltiplo escalar de outro é a própria definição de paralelismo. Em provas, essa resposta direta costuma ser suficiente: indicar a constante escalar (aqui \lambda) que relaciona os vetores.

Passo 4

Verificação componente a componente (forma alternativa, útil para compreensão): escrevendo componentes,
\vec{u}=(a,b),\qquad \lambda\vec{u}=(\lambda a,\lambda b).
Dois vetores (x_1,y_1) e (x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 são paralelos se e somente se a área do paralelogramo que formam é zero, o que pode ser testado pelo determinante
x_1y_2-x_2y_1=0.
Aplicando ao par \vec{u} e \lambda\vec{u}:
a\cdot(\lambda b)-(\lambda a)\cdot b=\lambda(ab-ab)=\lambda\cdot 0=0.
Como o determinante é zero, os vetores são colineares, isto é, paralelos. Essa verificação reforça a ideia geométrica: \lambda\vec{u} está na mesma reta que passa pela origem e contém \vec{u}.

Passo 5

Observação sobre o caso \lambda=0: se \lambda=0 então \lambda\vec{u}=\vec{0}. Usando a definição por múltiplo escalar, \vec{0}=0\cdot\vec{u}, portanto \vec{0} também é considerado múltiplo escalar de \vec{u} e, sob essa definição, é paralelo a \vec{u}. Se a prova exigir vetores não nulos para falar em “mesma direção”, basta notar que para \lambda\neq 0 os vetores têm exatamente a mesma direção (mesmo sentido se \lambda>0, sentido oposto se \lambda<0).
Dica prática para a prova: ao mostrar que dois vetores são paralelos, sempre tente encontrar explicitamente a constante escalar que os relaciona (aqui, trivially, \lambda). É rápido e direto.

Resposta

\lambda\vec{u} é paralelo a \vec{u} para todo \lambda\in\mathbb{R}.

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