Problema 7. Seja
um vetor não nulo em
. Mostre que:
para qualquer escalar real
, o vetor
é paralelo a
.
para qualquer escalar real
Passo 1
O enunciado dá um vetor não nulo
(ou seja,
e
não são simultaneamente zero) e pede para mostrar que, para qualquer escalar real
, o vetor
é paralelo a
.
Informações relevantes dadas:
-
é um vetor em e . -
é um número real qualquer. - Precisa-se concluir que
é paralelo a .
Passo 2
Definição usada (explicada com calma): diremos que dois vetores em
são paralelos (ou colineares) se um deles é múltiplo escalar do outro. Em palavras simples:
é paralelo a
quando existe um número real
tal que
.
Comentário didático: essa definição engloba o caso em que um dos vetores é o vetor nulo
, porque
para qualquer
. Alguns textos exigem que os vetores sejam não nulos para falar em “direção”, mas aqui vamos usar a definição algébrica de múltiplo escalar, que é a mais direta para provar o que se pede.
Passo 3
Aplicação direta da definição: queremos mostrar que existe algum
tal que
Basta tomar
. Então, por definição de multiplicação escalar,
logo existe
(especificamente
) que multiplica
para obter
. Assim, segundo a definição,
é paralelo a
.
Comentário didático: essa etapa é praticamente imediata — mostrar que um vetor é múltiplo escalar de outro é a própria definição de paralelismo. Em provas, essa resposta direta costuma ser suficiente: indicar a constante escalar (aqui
) que relaciona os vetores.
Passo 4
Verificação componente a componente (forma alternativa, útil para compreensão): escrevendo componentes,
Dois vetores
e
em
são paralelos se e somente se a área do paralelogramo que formam é zero, o que pode ser testado pelo determinante
Aplicando ao par
e
:
Como o determinante é zero, os vetores são colineares, isto é, paralelos. Essa verificação reforça a ideia geométrica:
está na mesma reta que passa pela origem e contém
.
Passo 5
Observação sobre o caso
: se
então
. Usando a definição por múltiplo escalar,
, portanto
também é considerado múltiplo escalar de
e, sob essa definição, é paralelo a
. Se a prova exigir vetores não nulos para falar em “mesma direção”, basta notar que para
os vetores têm exatamente a mesma direção (mesmo sentido se
, sentido oposto se
).
Dica prática para a prova: ao mostrar que dois vetores são paralelos, sempre tente encontrar explicitamente a constante escalar que os relaciona (aqui, trivially,
). É rápido e direto.