Problema 13. Em
, o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo forma uma reta vetorial. Em
, o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo forma um plano vetorial. Explique essa diferença com argumentos algébricos e geométricos.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: um vetor não nulo
em ou em . - Pedido: explicar por que o conjunto de todos os vetores ortogonais a
é - em
: uma reta vetorial (isto é, um subespaço de dimensão ); - em
: um plano vetorial (isto é, um subespaço de dimensão ).
- em
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A noção usada é a de ortogonalidade padrão em
, dada pelo produto interno usual (produto escalar). - O vetor
é não nulo (ou seja, ).
Passo 2
Definir o conjunto dos vetores ortogonais e mostrar que é um subespaço linear.
-
Definição: para um vetor fixo
( ou ), defino Aquié o produto escalar usual (se e , então ). -
Verificação de subespaço:
-
porque . - Se
então , logo . - Se
e então , logo .
-
Portanto
é um subespaço linear de
.
Passo 3
Apresentar o argumento algébrico usando uma aplicação linear e o teorema da dimensão (rank-nullity).
-
Considere a aplicação linear
definida por É linear porque, e . -
Observe que
(o núcleo da aplicação): exatamente os vetores que a aplicação manda em . -
Como
, a aplicação não é a aplicação zero: por exemplo . Logo o posto ( ) de é (a imagem é um subespaço não nulo de , portanto tem dimensão ). -
Usando o teorema da dimensão (rank-nullity):Substituindo
obtemos -
Conclusão algébrica imediata:
- Se
então : é uma reta vetorial (uma subespaço unidimensional). - Se
então : é um plano vetorial (uma subespaço bidimensional).
- Se
Passo 4
Explicar de forma concreta em coordenadas em
(argumento algébrico-elementar).
-
Seja
com e não ambos zero. O conjunto é formado pelos que satisfazem -
Essa é uma equação linear homogênea com duas incógnitas. Tem uma liberdade de escolha (um parâmetro): por exemplo, se
então , e todos os vetores ortogonais são da forma uma reta passando pela origem (subespaço gerado pelo vetor). Se então e a condição vira , ou seja, todos os vetores , que também formam uma reta passando pela origem. Em qualquer caso há exatamente um parâmetro livre, logo dimensão . -
Geometricamente: em
a condição de ser perpendicular a impõe uma única restrição linear (uma equação), por isso sobra apenas uma direção — uma reta.
Passo 5
Explicar de forma concreta em coordenadas em
(argumento algébrico-elementar).
-
Seja
com não todos zero. O conjunto é formado pelos que satisfazem -
Essa é uma equação linear homogênea com três incógnitas: tem duas graus de liberdade (dois parâmetros livres). Por exemplo, se
então e todo vetorpode ser escrito como ou seja, é combinação linear de dois vetores independentes — um plano através da origem (dimensão). Se outro coeficiente for zero a análise é análoga; sempre aparecem dois graus de liberdade. -
Geometricamente: em
a condição de ser perpendicular a impõe uma única restrição linear, mas agora a ambientação tem três dimensões, então a solução é um conjunto bidimensional — um plano passando pela origem.
Passo 6
Um exemplo construtivo em
para ver explicitamente dois vetores linearmente independentes em
.
- Dado
não nulo, podemos construir dois vetores que são orthogonais a . Por exemplo, tome Verificar:
Geralmente
e
são linearmente independentes (salvo casos degenerados em que um coeficiente é zero; nesses casos pode-se escolher outros vetores; sempre é possível encontrar dois independentes porque
). Assim eles geram um plano contido em
; por contagem de dimensões esse plano é todo
.
- Observação geométrica alternativa: em
o produto vetorial dá uma forma prática: para quaisquer vetores e , o vetor é ortogonal a . Variando obtém-se todo o plano ortogonal a .
Passo 7
Interpretar a diferença de modo intuitivo e geral.
- Em ambos os casos a condição
é uma única equação linear homogênea sobre as coordenadas de . Impondo uma equação linear a um espaço normalmente reduz a dimensão em exatamente (desde que a equação não seja trivial). Por isso o espaço das soluções tem dimensão . - Especificamente:
- Para
a solução tem dimensão : uma reta. - Para
a solução tem dimensão : um plano.
- Para
Essa é a razão algébrica; geometricamente, cada vez que se impõe a condição "ser perpendicular a
" remove uma direção (a direção de
) das possibilidades de movimento, restando
direções independentes.
Resposta
Em
o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo é uma reta vetorial (subespaço de dimensão
).\nEm
o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo é um plano vetorial (subespaço de dimensão
).