Problema 13. Em \mathbb{R}^{2}, o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo forma uma reta vetorial. Em \mathbb{R}^{3}, o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo forma um plano vetorial. Explique essa diferença com argumentos algébricos e geométricos.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: um vetor não nulo v em \mathbb{R}^{2} ou em \mathbb{R}^{3}.
  • Pedido: explicar por que o conjunto de todos os vetores ortogonais a v é
    • em \mathbb{R}^{2}: uma reta vetorial (isto é, um subespaço de dimensão 1);
    • em \mathbb{R}^{3}: um plano vetorial (isto é, um subespaço de dimensão 2).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A noção usada é a de ortogonalidade padrão em \mathbb{R}^n, dada pelo produto interno usual (produto escalar).
  • O vetor v é não nulo (ou seja, \|v\|^2 = v\cdot v > 0).

Passo 2

Definir o conjunto dos vetores ortogonais e mostrar que é um subespaço linear.
  • Definição: para um vetor fixo v\in\mathbb{R}^n ( n=2 ou 3), defino
    v^{\perp}=\{w\in\mathbb{R}^n \mid w\cdot v = 0\}.
    Aqui w\cdot v é o produto escalar usual (se w=(x_1,\dots,x_n) e v=(v_1,\dots,v_n), então w\cdot v = x_1v_1+\cdots+x_n v_n).
  • Verificação de subespaço:
    1. 0\in v^{\perp} porque 0\cdot v=0.
    2. Se w_1,w_2\in v^{\perp} então (w_1+w_2)\cdot v = w_1\cdot v + w_2\cdot v = 0+0=0, logo w_1+w_2\in v^{\perp}.
    3. Se w\in v^{\perp} e \lambda\in\mathbb{R} então (\lambda w)\cdot v = \lambda (w\cdot v)=\lambda\cdot 0 =0, logo \lambda w\in v^{\perp}.
Portanto v^{\perp} é um subespaço linear de \mathbb{R}^n.

Passo 3

Apresentar o argumento algébrico usando uma aplicação linear e o teorema da dimensão (rank-nullity).
  • Considere a aplicação linear \phi_v:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} definida por
    \phi_v(w)=w\cdot v.
    É linear porque \phi_v(w_1+w_2)= (w_1+w_2)\cdot v = w_1\cdot v + w_2\cdot v = \phi_v(w_1)+\phi_v(w_2), e \phi_v(\lambda w)=\lambda\phi_v(w).
  • Observe que v^{\perp}=\ker(\phi_v) (o núcleo da aplicação): exatamente os vetores que a aplicação manda em 0.
  • Como v\neq 0, a aplicação \phi_v não é a aplicação zero: por exemplo \phi_v(v)=v\cdot v=\|v\|^2>0. Logo o posto ( \operatorname{rank}) de \phi_v é 1 (a imagem é um subespaço não nulo de \mathbb{R}, portanto tem dimensão 1).
  • Usando o teorema da dimensão (rank-nullity):
    \dim(\ker(\phi_v)) + \operatorname{rank}(\phi_v) = n.
    Substituindo \operatorname{rank}(\phi_v)=1 obtemos
    \dim(v^{\perp}) = \dim(\ker(\phi_v)) = n-1.
  • Conclusão algébrica imediata:
    • Se n=2 então \dim(v^{\perp})=1: v^{\perp} é uma reta vetorial (uma subespaço unidimensional).
    • Se n=3 então \dim(v^{\perp})=2: v^{\perp} é um plano vetorial (uma subespaço bidimensional).

Passo 4

Explicar de forma concreta em coordenadas em \mathbb{R}^2 (argumento algébrico-elementar).
  • Seja v=(a,b) com a e b não ambos zero. O conjunto v^{\perp} é formado pelos (x,y) que satisfazem
    ax + by = 0.
  • Essa é uma equação linear homogênea com duas incógnitas. Tem uma liberdade de escolha (um parâmetro): por exemplo, se b\neq 0 então y = -\dfrac{a}{b} x, e todos os vetores ortogonais são da forma
    (x,y) = \left(t, -\dfrac{a}{b}t\right)= t\left(1,-\dfrac{a}{b}\right),\quad t\in\mathbb{R},
    uma reta passando pela origem (subespaço gerado pelo vetor \left(1,-\dfrac{a}{b}\right)). Se b=0 então a\neq 0 e a condição vira x=0, ou seja, todos os vetores (0,t)=t(0,1), que também formam uma reta passando pela origem. Em qualquer caso há exatamente um parâmetro livre, logo dimensão 1.
  • Geometricamente: em \mathbb{R}^2 a condição de ser perpendicular a v impõe uma única restrição linear (uma equação), por isso sobra apenas uma direção — uma reta.

Passo 5

Explicar de forma concreta em coordenadas em \mathbb{R}^3 (argumento algébrico-elementar).
  • Seja v=(a,b,c) com a,b,c não todos zero. O conjunto v^{\perp} é formado pelos (x,y,z) que satisfazem
    ax + by + cz = 0.
  • Essa é uma equação linear homogênea com três incógnitas: tem duas graus de liberdade (dois parâmetros livres). Por exemplo, se c\neq 0 então
    z = -\dfrac{a}{c}x - \dfrac{b}{c}y,
    e todo vetor w\in v^{\perp} pode ser escrito como
    (x,y,z) = x\left(1,0,-\dfrac{a}{c}\right) + y\left(0,1,-\dfrac{b}{c}\right),
    ou seja, é combinação linear de dois vetores independentes — um plano através da origem (dimensão 2). Se outro coeficiente for zero a análise é análoga; sempre aparecem dois graus de liberdade.
  • Geometricamente: em \mathbb{R}^3 a condição de ser perpendicular a v impõe uma única restrição linear, mas agora a ambientação tem três dimensões, então a solução é um conjunto bidimensional — um plano passando pela origem.

Passo 6

Um exemplo construtivo em \mathbb{R}^3 para ver explicitamente dois vetores linearmente independentes em v^{\perp}.
  • Dado v=(a,b,c) não nulo, podemos construir dois vetores que são orthogonais a v. Por exemplo, tome u_1 = (-b,a,0),\qquad u_2 = (-c,0,a).Verificar: v\cdot u_1 = a(-b)+b(a)+c\cdot 0 = 0,
v\cdot u_2 = a(-c)+b\cdot 0 + c(a) = 0.
Geralmente u_1 e u_2 são linearmente independentes (salvo casos degenerados em que um coeficiente é zero; nesses casos pode-se escolher outros vetores; sempre é possível encontrar dois independentes porque \dim(v^{\perp})=2). Assim eles geram um plano contido em v^{\perp}; por contagem de dimensões esse plano é todo v^{\perp}.
  • Observação geométrica alternativa: em \mathbb{R}^3 o produto vetorial dá uma forma prática: para quaisquer vetores u e v, o vetor u\times v é ortogonal a v. Variando u obtém-se todo o plano ortogonal a v.

Passo 7

Interpretar a diferença de modo intuitivo e geral.
  • Em ambos os casos a condição w\cdot v = 0 é uma única equação linear homogênea sobre as coordenadas de w. Impondo uma equação linear a um espaço \mathbb{R}^n normalmente reduz a dimensão em exatamente 1 (desde que a equação não seja trivial). Por isso o espaço das soluções tem dimensão n-1.
  • Especificamente:
    • Para n=2 a solução tem dimensão 1: uma reta.
    • Para n=3 a solução tem dimensão 2: um plano.
Essa é a razão algébrica; geometricamente, cada vez que se impõe a condição "ser perpendicular a v" remove uma direção (a direção de v) das possibilidades de movimento, restando n-1 direções independentes.

Resposta

Em \mathbb{R}^{2} o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo é uma reta vetorial (subespaço de dimensão 1).\nEm \mathbb{R}^{3} o conjunto dos vetores ortogonais a um vetor não nulo é um plano vetorial (subespaço de dimensão 2).

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