Usando as Regras de L’Hospital prove que:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}=1

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x}.
Informações dadas e observações iniciais: x tende para 0 pela direita, então x>0 nas proximidades do ponto; a expressão envolve uma potência com base e expoente que dependem de x.

Passo 2

Transformação útil: seja y = x^{x}. Quero achar \lim_{x\to 0^{+}} y. Tomando o logaritmo natural dos dois lados obtém-se uma expressão mais fácil de analisar:
\ln y = x\ln x.
Explicação didática: usamos o logaritmo porque ele transforma potências em produtos, e produtos com fatores que tendem a 0 ou -\infty são mais fáceis de manipular. Como x>0 perto de 0^{+}, \ln x está bem definido.

Passo 3

Agora devemos calcular \lim_{x\to 0^{+}} \ln y = \lim_{x\to 0^{+}} x\ln x. Observação sobre o tipo de indeterminação: quando x\to 0^{+} temos \ln x \to -\infty e x\to 0^{+}, então o produto x\ln x é do tipo 0\cdot(-\infty), que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hospital é conveniente transformar esse produto em uma razão. Faço a reescrita
x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}.
Aqui o numerador tende a -\infty e o denominador tende a +\infty quando x\to 0^{+}, logo temos uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty} (sinal negativo no numerador não altera que é uma situação de crescimento sem limites).

Passo 4

Enunciado da Regra de L’Hospital (versão usada): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e se \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} existe finita ou é \pm\infty, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
No nosso caso podemos aplicar com f(x)=\ln x e g(x)=1/x.

Passo 5

Calculo das derivadas necessárias:
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},
g'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}}.
Faço a simplificação da fração:
\frac{1/x}{-1/x^{2}} = \frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right) = -x.

Passo 6

Agora o limite ficou simples:
\lim_{x\to 0^{+}} (-x) = 0.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \ln y = 0.

Passo 7

Como y=x^{x} e \ln y\to 0, uso a continuidade da função exponencial: se \ln y \to 0 então y = e^{\ln y} \to e^{0}=1. Conclusão:
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x} = 1.
Você conseguiu! Mesmo parecendo uma indeterminação assustadora, transformar com log e usar L’Hospital resolve bem.

Resposta

1

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