Usando as Regras de L’Hospital prove que:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas e observações iniciais:
tende para
pela direita, então
nas proximidades do ponto; a expressão envolve uma potência com base e expoente que dependem de
.
Passo 2
Transformação útil: seja
. Quero achar
. Tomando o logaritmo natural dos dois lados obtém-se uma expressão mais fácil de analisar:
Explicação didática: usamos o logaritmo porque ele transforma potências em produtos, e produtos com fatores que tendem a 0 ou
são mais fáceis de manipular. Como
perto de
,
está bem definido.
Passo 3
Agora devemos calcular
. Observação sobre o tipo de indeterminação: quando
temos
e
, então o produto
é do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hospital é conveniente transformar esse produto em uma razão. Faço a reescrita
Aqui o numerador tende a
e o denominador tende a
quando
, logo temos uma indeterminação do tipo
(sinal negativo no numerador não altera que é uma situação de crescimento sem limites).
Passo 4
Enunciado da Regra de L’Hospital (versão usada): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
e
(ou ambos
), e se
existe finita ou é
, então
No nosso caso podemos aplicar com
e
.
Passo 5
Calculo das derivadas necessárias:
Pela Regra de L’Hospital,
Faço a simplificação da fração:
Passo 6
Agora o limite ficou simples:
Portanto
Passo 7
Como
e
, uso a continuidade da função exponencial: se
então
. Conclusão:
Você conseguiu! Mesmo parecendo uma indeterminação assustadora, transformar com log e usar L’Hospital resolve bem.