Problema 13: Seja f uma função de classe C^n, n=1,2,3, cdots. Então vale
Lt^n f(t)=(-1)^n d^nd s^n F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
Lt sen(3 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de tsin(3t) usando a propriedade Lt^n f(t)=(-1)^nd^nds^nF(s), em que F(s)=Lf(t). Aqui temos n=1 e f(t)=sin(3t).

Passo 2

Primeiro, calculamos F(s)=Lsin(3t). Sabemos que para a>0 vale Lsin(at)=as^2+a^2. Portanto,
F(s)=3s^2+9

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula para n=1:
Ltsin(3t)=(-1)^1ddsF(s)=-ddsl(3s^2+9r)

Passo 4

Calculamos a derivada:
ddsl(3s^2+9r)=3cdotdds(s^2+9)^-1=-3cdot2s(s^2+9)^2=-6s(s^2+9)^2

Passo 5

Incluindo o sinal de fora,
Ltsin(3t)=-l(-tfrac6s(s^2+9)^2r)=6s(s^2+9)^2

Resposta

6s(s^2+9)^2

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