Problema 13 Sejam A=(lll2 & 1 & 0 1 & 2 & 1), B=(lll0 & 0 & 2 6 & 4 & 2), E C=(lll3 & 2 & 0 0 & 1 & 0). Determiar a matriz X in M2 times 3 R tal que 12(X+A)=3(X+(B-A))-2 C.
Problema 14 Considere a matriz simétrica A=(ccc1 & 2 & 3 2 & 6 & 8 3 & 8 & 15)
Determine uma matriz invertivel P de modo que D=P A P^t seja uma matriz diagonal, e a matriz L=P^-1 tal que A=L D L^t.

Passo 1

No problema 13, temos as matrizes
A=2 & 1 & 0 [6pt] 1 & 2 & 1, B=0 & 0 & 2 [6pt] 6 & 4 & 2, C=3 & 2 & 0 [6pt] 0 & 1 & 0
e queremos encontrar Xin M2times3(R) tal que
12l(X+Ar)=3l(X+(B-A)r)-2C
O conteúdo é álgebra de matrizes: iremos usar propriedades de soma e multiplicação escalar para isolar X.]

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o fator tfrac12:
X + A = 6l(X + (B-A)r) - 4,C

Passo 3

Expandimos o termo da direita:
6l(X + (B-A)r) = 6X + 6B - 6A,
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X + A = 6X + 6B - 6A - 4C

Passo 4

Reagrupamos os termos com X de um lado:
X - 6X = 6B - 6A - 4C - A Longrightarrow -5X = 6B - 7A - 4C
Portanto
X = 7A + 4C - 6B5

Passo 5

Calculamos cada parte:
7A = 14 & 7 & 0 [3pt] 7 & 14 & 7, 4C = 12 & 8 & 0 [3pt] 0 & 4 & 0, 6B = 0 & 0 & 12 [3pt] 36 & 24 & 12
Então
7A + 4C = 26 & 15 & 0 [3pt] 7 & 18 & 7, 7A + 4C - 6B = 26 & 15 & -12 [3pt] -29 & -6 & -5 ]

Passo 6

Dividindo por 5, obtemos
X = 26/5 & 15/5 & -12/5 [3pt] -29/5 & -6/5 & -5/5 = 26/5 & 3 & -12/5 [3pt] -29/5 & -6/5 & -1 ]

Passo 7

No problema 14, temos a matriz simétrica
A=1 & 2 & 3 [3pt] 2 & 6 & 8 [3pt] 3 & 8 & 15,
e queremos encontrar matriz invertível P tal que
D = P,A,P^t
seja diagonal, e L = P^-1 tal que
A = L,D,L^t
Usaremos a decomposição A=L,D,L^t (metodo LDL^{t}) para simétrica.]

Passo 8

Escrevemos
L = 1 & 0 & 0[3pt] ell21 & 1 & 0[3pt] ell31 & ell32 & 1 , D = diag(d1,d2,d3),
e impomos A = L,D,L^t.]

Passo 9

Pela entrada (1,1) de A:
d1 = 1
Pela entrada (2,1):
2 = ell21,d1 ;Longrightarrow; ell21=2
Pela entrada (3,1):
3 = ell31,d1 ;Longrightarrow;ell31=3

Passo 10

Pela entrada (2,2):
6 = ell21^2 d1 + d2 = 2^2cdot1 + d2 ;Longrightarrow; d2 = 2
Pela entrada (3,2):
8 = ell31,ell21,d1 + ell32,d2 =3cdot2cdot1 + ell32,2 ;Longrightarrow;2ell32=2 ;Longrightarrow;ell32=1

Passo 11

Pela entrada (3,3):
15 = ell31^2d1 + ell32^2d2 + d3 =3^2cdot1 + 1^2cdot2 + d3 ;Longrightarrow;11 + d3 =15 ;Longrightarrow;d3 =4

Passo 12

Agora L é
L=1&0&0[3pt]2&1&0[3pt]3&1&1
Para obter P=L^-1, invertendo a triangular unitária, achamos
P = L^-1 = 1 & 0 & 0[3pt] -2 & 1 & 0[3pt] -1 & -1 & 1 ]

Passo 13

Verificamos então que
D = diag(1,2,4)
satisfaz D = P,A,P^t e A = L,D,L^t com L=P^-1.

Resposta

Para o problema 13:
X = 26/5 & 3 & -12/5 [3pt] -29/5 & -6/5 & -1
Para o problema 14:
P = 1 & 0 & 0[3pt] -2 & 1 & 0[3pt] -1 & -1 & 1 , L = 1 & 0 & 0[3pt] 2 & 1 & 0[3pt] 3 & 1 & 1 , D = diag(1,2,4) ]

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