Problema 14 Considere a matriz simétrica A=(ccc1 & 2 & 3 2 & 6 & 8 3 & 8 & 15)
Determine uma matriz invertivel P de modo que D=P A P^t seja uma matriz diagonal, e a matriz L=P^-1 tal que A=L D L^t.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma fatoração por congruência de A na forma
D = P,A,P^t
com D diagonal e P invertível, e em seguida expressar
A = L,D,L^t
onde L = P^-1.
O conteúdo é a fatoração LDL ^t de matrizes simétricas, em que L é unitária inferior e D é diagonal. Para isso vamos usar eliminação simétrica (sem pivoteamento) e depois inverter L.

Passo 2

Assumimos
L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3
Então A = L,D,L^t implica que
D = L^-1,A,(L^-1)^t,
ou seja basta achar os ellij e di de modo que L,D,L^t reproduza as entradas de A.

Passo 3

A condição na posição (1,1)
A11=1 = d1 Longrightarrow d1 = 1
Na posição (2,1) (e simetricamente (1,2)) temos
A21=2 = ell21,d1 = ell21Longrightarrow ell21=2
Na posição (3,1) (e (1,3))
A31=3 = ell31,d1 = ell31Longrightarrow ell31=3

Passo 4

Na posição (2,2)
A22=6 = (ell21d1),ell21 + d2 = 2cdot2 + d2 = 4 + d2 Longrightarrow d2 = 2
Na posição (3,2) (e (2,3))
A32=8 = (ell31d1),ell21 + (ell32d2) = 3cdot2 + 2,ell32 = 6 + 2ell32 Longrightarrow ell32=1

Passo 5

Finalmente, na posição (3,3)
A33=15 = (ell31d1),ell31 + (ell32d2),ell32 + d3 = 3cdot3 + 1cdot2 + d3 = 9 +2 + d3 Longrightarrow d3 = 15 -11 = 4?
( Atenção: 9+2=11, logo d3=4. Porém o determinante de A é 8, logo o produto d1d2d3=1cdot2cdot d3 deve ser 8, o que dá d3=4. )
Portanto
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4

Passo 6

Para obter P fazemos P = L^-1. Como L é unitária inferior, basta resolver
L,P = I
Seja
P = 1 & 0 & 0 a & 1 & 0 b & c & 1
Da equação L,P=I obtemos
2 + a = 0;Rightarrow;a=-2, 3 +(-2)cdot1 + b =0;Rightarrow;b=-1, 1 + c = 0;Rightarrow;c=-1
Logo
P = 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 -1 & -1 & 1

Resposta

P = 1&0&0-2&1&0-1&-1&1,
D = 1&0&00&2&00&0&4,
L = P^-1=1&0&02&1&03&1&1,
satisfazendo
D = P,A,P^t, A = L,D,L^t

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