Problema 13: Sejam
e
, determine:
Passo 1
O enunciado dá três vetores:
e pede para determinar o valor da expressão
Informações relevantes listadas:
- •Os vetores estão em coordenadas cartesianas; os componentes podem ser lidos da imagem do enunciado (aqui eu peguei os componentes diretamente do enunciado).
- •A expressão envolve normas (módulos) de vetores e um escalar multiplicando um vetor.
- •Não é solicitada qualquer operação com
— ele foi fornecido mas não é necessário para este cálculo.
Passo 2
Entendendo o que significa a norma de um vetor e como calculá‑la (mini‑aula rápida, bem mastigada).
Explicação: cada componente do vetor é elevada ao quadrado, somam-se essas quantidades e tira-se a raiz quadrada do resultado. É a generalização do teorema de Pitágoras para 3 dimensões. Exemplo simples: se
então
.
Passo 3
Aplicando o conceito ao vetor
. Primeiro escrevemos
em coordenadas:
Agora calculamos
usando a fórmula da norma:
Detalhe das contas:
,
,
. Soma
. Raiz quadrada:
(não é um quadrado perfeito, então mantemos em forma de raiz).
Passo 4
Propriedade importante: a norma de um vetor multiplicado por um escalar obeys
para qualquer escalar real
. Isso vem do fato de que multiplicar o vetor por
multiplica cada componente por
, e ao elevar ao quadrado aparece
, cuja raiz positiva é
.
Aplicando isso a , temos:
Aplicando isso a
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior substituímos na expressão pedida:
Portanto precisamos de
(já calculado) e de
.
Passo 6
Calculando
. Escrevemos
em coordenadas:
Aplicando a fórmula da norma:
Detalhe:
e o componente
é zero, então não contribui.
Passo 7
Agora substituímos
e
em
Fazendo a substituição:
Podemos também fatorar
se quisermos uma forma alternativa:
pois
.