Problema 13: Sejam vec{u}=vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k}, \vec{v}=vec{i}+\vec{j} e \vec{w}=2 \vec{i}+2 \vec{j}-4 \vec{k}, determine:
|-2 \vec{u}|+2|\vec{v}|

Passo 1

O enunciado dá três vetores:
\vec{u}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k},\quad \vec{v}=\vec{i}+\vec{j},\quad \vec{w}=2\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}
e pede para determinar o valor da expressão
|-2\vec{u}|+2|\vec{v}|.
Informações relevantes listadas:
  • Os vetores estão em coordenadas cartesianas; os componentes podem ser lidos da imagem do enunciado (aqui eu peguei os componentes diretamente do enunciado).
  • A expressão envolve normas (módulos) de vetores e um escalar multiplicando um vetor.
  • Não é solicitada qualquer operação com \vec{w} — ele foi fornecido mas não é necessário para este cálculo.

Passo 2

Entendendo o que significa a norma de um vetor e como calculá‑la (mini‑aula rápida, bem mastigada).
\text{Se } \vec{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle,\text{ então a norma (magnitude) de } \vec{a} \text{ é}ãé
|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Explicação: cada componente do vetor é elevada ao quadrado, somam-se essas quantidades e tira-se a raiz quadrada do resultado. É a generalização do teorema de Pitágoras para 3 dimensões. Exemplo simples: se \vec{b}=\langle 3,4,0\rangle então |\vec{b}|=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Aplicando o conceito ao vetor \vec{u}. Primeiro escrevemos \vec{u} em coordenadas:
\vec{u}=\langle 1,\,-3,\,2\rangle.
Agora calculamos |\vec{u}| usando a fórmula da norma:
|\vec{u}|=\sqrt{1^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}.
Detalhe das contas: 1^2=1, (-3)^2=9, 2^2=4. Soma 1+9+4=14. Raiz quadrada: \sqrt{14} (não é um quadrado perfeito, então mantemos em forma de raiz).

Passo 4

Propriedade importante: a norma de um vetor multiplicado por um escalar obeys
|c\vec{a}|=|c|\,|\vec{a}|
para qualquer escalar real c. Isso vem do fato de que multiplicar o vetor por c multiplica cada componente por c, e ao elevar ao quadrado aparece c^2, cuja raiz positiva é |c|.
Aplicando isso a -2\vec{u}, temos:
|-2\vec{u}|=|-2|\,|\vec{u}|=2\,|\vec{u}|.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior substituímos na expressão pedida:
|-2\vec{u}|+2|\vec{v}|=2\,|\vec{u}|+2\,|\vec{v}|=2\bigl(|\vec{u}|+|\vec{v}|\bigr).
Portanto precisamos de |\vec{u}| (já calculado) e de |\vec{v}|.

Passo 6

Calculando |\vec{v}|. Escrevemos \vec{v} em coordenadas:
\vec{v}=\langle 1,\,1,\,0\rangle.
Aplicando a fórmula da norma:
|\vec{v}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.
Detalhe: 1^2=1 e o componente k é zero, então não contribui.

Passo 7

Agora substituímos |\vec{u}|=\sqrt{14} e |\vec{v}|=\sqrt{2} em
2\bigl(|\vec{u}|+|\vec{v}|\bigr).
Fazendo a substituição:
2\bigl(\sqrt{14}+\sqrt{2}\bigr).
Podemos também fatorar \sqrt{2} se quisermos uma forma alternativa:
2\bigl(\sqrt{14}+\sqrt{2}\bigr)=2\sqrt{2}\bigl(\sqrt{7}+1\bigr),
pois \sqrt{14}=\sqrt{2}\sqrt{7}.

Resposta

2\bigl(\sqrt{14}+\sqrt{2}\bigr)

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