Verifique quais dos polinômios a seguir pertencem ao núcleo
.
(ii)
(ii)
Passo 1
Enunciado (resumido): verificar se o polinômio
pertence ao núcleo
. Informação fornecida: o polinômio considerado é o polinômio nulo
.\n
Observação importante (apenas informação sobre o enunciado): o símbolo indica que estamos a falar do núcleo de uma transformação
. O enunciado não especifica explicitamente a transformação
, mas o uso de
normalmente pressupõe que
é uma transformação linear. Não foi dada nenhuma outra informação sobre
.
Observação importante (apenas informação sobre o enunciado): o símbolo
Passo 2
Definição útil (o que significa “pertencer ao núcleo”): por definição,
ou seja, o núcleo é o conjunto de todos os vetores (aqui: polinômios) que são enviados por
para o vetor zero do espaço de chegada. Então para verificar se
está em
precisamos verificar se
.
Passo 3
Propriedade fundamental das transformações lineares (justificativa passo a passo): se
é linear, vale a propriedade
onde o primeiro
é o polinômio nulo (ou vetor nulo no espaço de partida) e o segundo
é o vetor nulo no espaço de chegada. Vou demonstrar isso de duas maneiras curtas, para fixar bem a ideia:
Método A (usando homogeneidade): escolha qualquer polinômio
. Como
(multiplicação escalar produz o polinômio nulo), pela linearidade (homogeneidade) temos
Método B (usando aditividade): pela linearidade (adiçividade),
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
. Ambas as demonstrações mostram que
envia o polinômio nulo para o vetor zero.
Passo 4
Aplicação ao polinômio dado: o polinômio dado é exatamente o polinômio nulo
. Usando a propriedade demonstrada no passo anterior, para qualquer transformação linear
temos
Portanto
satisfaz a condição
que caracteriza
.
Passo 5
Conclusão e nota sobre hipótese necessária: concluímos que, sempre que
for uma transformação linear (hipótese implícita pelo uso de
), o polinômio
pertence ao núcleo
. Se por algum motivo
não fosse linear (situação rara quando se usa a notação
), então a noção de núcleo não se aplica da mesma maneira; entretanto, praticamente todos os exercícios que usam
tratam de
linear, então a resposta acima é a esperada.
Resposta
Sim:
pertence a
(pois
para toda transformação linear
).