Verifique quais dos polinômios a seguir pertencem ao núcleo \operatorname{ker}(T).
(ii) p(x)=0

Passo 1

Enunciado (resumido): verificar se o polinômio \;p(x)=0\; pertence ao núcleo \operatorname{ker}(T). Informação fornecida: o polinômio considerado é o polinômio nulo \;p(x)=0.\n
Observação importante (apenas informação sobre o enunciado): o símbolo \operatorname{ker}(T) indica que estamos a falar do núcleo de uma transformação T. O enunciado não especifica explicitamente a transformação T, mas o uso de \operatorname{ker}(T) normalmente pressupõe que T é uma transformação linear. Não foi dada nenhuma outra informação sobre T.

Passo 2

Definição útil (o que significa “pertencer ao núcleo”): por definição,
\operatorname{ker}(T)=\{v \mid T(v)=0\},
ou seja, o núcleo é o conjunto de todos os vetores (aqui: polinômios) que são enviados por T para o vetor zero do espaço de chegada. Então para verificar se \;p(x)=0\; está em \operatorname{ker}(T) precisamos verificar se T(p)=0.

Passo 3

Propriedade fundamental das transformações lineares (justificativa passo a passo): se T é linear, vale a propriedade
T(0)=0,
onde o primeiro 0 é o polinômio nulo (ou vetor nulo no espaço de partida) e o segundo 0 é o vetor nulo no espaço de chegada. Vou demonstrar isso de duas maneiras curtas, para fixar bem a ideia:
Método A (usando homogeneidade): escolha qualquer polinômio q. Como 0\cdot q=0 (multiplicação escalar produz o polinômio nulo), pela linearidade (homogeneidade) temos
T(0)=T(0\cdot q)=0\cdot T(q)=0.
Método B (usando aditividade): pela linearidade (adiçividade),
T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0).
Subtraindo T(0) de ambos os lados obtemos 0=T(0). Ambas as demonstrações mostram que T envia o polinômio nulo para o vetor zero.

Passo 4

Aplicação ao polinômio dado: o polinômio dado é exatamente o polinômio nulo \;p(x)=0. Usando a propriedade demonstrada no passo anterior, para qualquer transformação linear T temos
T(p)=T(0)=0.
Portanto p satisfaz a condição T(p)=0 que caracteriza \operatorname{ker}(T).

Passo 5

Conclusão e nota sobre hipótese necessária: concluímos que, sempre que T for uma transformação linear (hipótese implícita pelo uso de \operatorname{ker}(T)), o polinômio \;p(x)=0\; pertence ao núcleo \operatorname{ker}(T). Se por algum motivo T não fosse linear (situação rara quando se usa a notação \operatorname{ker}), então a noção de núcleo não se aplica da mesma maneira; entretanto, praticamente todos os exercícios que usam \operatorname{ker}(T) tratam de T linear, então a resposta acima é a esperada.

Resposta

Sim: p(x)=0 pertence a \operatorname{ker}(T) (pois T(0)=0 para toda transformação linear T).

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