Verifique quais dos polinômios a seguir pertencem ao núcleo \operatorname{ker}(T).
(iii) p(x)=x^{4}-2 x^{3}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio p(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2} pertence ao núcleo \operatorname{ker}(T).\n
Informações fornecidas no enunciado que você me deu:\n
  • O polinômio p(x) é p(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}.\n
    Informação que falta e que é essencial para resolver a questão:\n
  • A definição do operador linear T (ou a regra que diz como T age sobre polinômios). Sem isso não há como calcular T(p) e, portanto, não dá para concluir se p\in\operatorname{ker}(T).

Passo 2

O que significa estar no núcleo de um operador linear? Vou explicar com calma e sem jargão.\n
Definição: \operatorname{ker}(T) é o conjunto de todos os polinômios q tais que
T(q)=0,
onde 0 é o vetor nulo do espaço de chegada (no caso de polinômios, normalmente é o polinômio nulo). Em palavras: um polinômio está no núcleo quando o operador o manda para zero.\n
Logo, a verificação prática na prova é sempre: calcular T(p) usando a regra dada para T e checar se o resultado é o polinômio zero. Sem a regra de T, a pergunta não tem resposta única.

Passo 3

Vamos manipular o polinômio dado — isso ajuda, porque dependendo de T a fatoração pode tornar claro se p cai no núcleo.\n
Começo fatorando p(x):
p(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}.
Fator comum x^{2}:
p(x)=x^{2}\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Reconheço dentro o quadrado perfeito x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Portanto
p(x)=x^{2}(x-1)^{2}.
Isso é útil: p tem zeros em x=0 (de multiplicidade 2) e em x=1 (de multiplicidade 2).

Passo 4

Agora mostro exemplos comuns de operadores T e como testar p neles — assim você aprende a aplicar na prova, dependendo do que o enunciado do professor der.\n
Exemplo A — Diferenciação D, definida por D(q)=q'.\n
Calcule p'(x) passo a passo:
p(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}
derivando termo a termo:
p'(x)=4x^{3}-6x^{2}+2x.
Observe que p'(x) não é o polinômio zero (os coeficientes não são todos zero), então p\notin\operatorname{ker}(D). Resultado: se T=D, então p não está no núcleo.
Exemplo B — Avaliação em um ponto a, operador E_{a} definido por E_{a}(q)=q(a) (um número).\n
Calcule p(0) e p(1) (útil porque fatoramos):
p(0)=0^{2}(0-1)^{2}=0,
p(1)=1^{2}(1-1)^{2}=0.
Logo, p pertence a \operatorname{ker}(E_{0}) e a \operatorname{ker}(E_{1}). Em palavras: se T for “avaliar em 0” ou “avaliar em 1”, então p está no núcleo.
Exemplo C — Multiplicação por um polinômio não-nulo m(x), operador M_{m} dado por M_{m}(q)=m\cdot q.\n
Em anéis de polinômios sobre um corpo (por exemplo \mathbb{R}[x] ou \mathbb{C}[x]) não há divisores de zero, então se m\neq 0 então M_{m} tem núcleo somente \{0\}. Isso significa que, para operadores do tipo “multiplicar por um polinômio não-nulo”, p só estaria no núcleo se p fosse o polinômio zero — mas p não é zero, então p\notin\operatorname{ker}(M_{m}).
Exemplo D — Operadores dados por matriz em uma base (por exemplo base \{1,x,x^{2},\dots\}).\n
Procedimento na prova: expresse p pelos coeficientes em relação à base escolhida, forme o vetor de coeficientes e multiplique pela matriz que representa T. Se o produto der o vetor nulo, então p\in\operatorname{ker}(T). Sem a matriz (ou regra), não dá para fazer isso.

Passo 5

Receita prática que você pode usar na prova (passo a passo, sem pânico):\n
  1. Leia atentamente o enunciado e anote a regra de T (ex.: T(q)=q', ou T(q)=q(0), ou T dada por uma matriz, etc.).\n
  2. Pegue o polinômio p(x) e compute T(p) seguindo a regra explicitada.\n
  3. Verifique se T(p) é o polinômio nulo (ou o vetor nulo). Se for, então p\in\operatorname{ker}(T); caso contrário, não pertence.\n
    Dica: fatoração como a que fiz em \(p(x)=x^{2}(x-1)^{2}) ajuda muito quando T envolve avaliações, divisibilidade ou checagem de raízes.

Passo 6

Conclusão específica para o que você me enviou: com somente o polinômio p(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2} disponível e sem a definição de T, não é possível afirmar de forma única se p\in\operatorname{ker}(T). Posso dizer casos particulares:\n
  • Se T=D (derivada), então p\notin\operatorname{ker}(T).\n
  • Se T=E_{0} ou T=E_{1} (avaliação em 0 ou 1), então p\in\operatorname{ker}(T).\n
  • Se T for multiplicação por polinômio não-nulo, então p\notin\operatorname{ker}(T).\n
    Mas a resposta final depende da regra de T que o enunciado deveria fornecer.

Resposta

Não é possível determinar se p(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2} pertence a \operatorname{ker}(T), pois o operador T não foi especificado.

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