Verifique quais dos polinômios a seguir pertencem ao núcleo
.
(iii)
(iii)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinômio
pertence ao núcleo
.\n
Informações fornecidas no enunciado que você me deu:\n
Informações fornecidas no enunciado que você me deu:\n
- O polinômio
é .\n
Informação que falta e que é essencial para resolver a questão:\n - A definição do operador linear
(ou a regra que diz como age sobre polinômios). Sem isso não há como calcular e, portanto, não dá para concluir se .
Passo 2
O que significa estar no núcleo de um operador linear? Vou explicar com calma e sem jargão.\n
Definição: é o conjunto de todos os polinômios
tais que
Definição:
onde
é o vetor nulo do espaço de chegada (no caso de polinômios, normalmente é o polinômio nulo). Em palavras: um polinômio está no núcleo quando o operador o manda para zero.\n
Logo, a verificação prática na prova é sempre: calcular usando a regra dada para
e checar se o resultado é o polinômio zero. Sem a regra de
, a pergunta não tem resposta única.
Logo, a verificação prática na prova é sempre: calcular
Passo 3
Vamos manipular o polinômio dado — isso ajuda, porque dependendo de
a fatoração pode tornar claro se
cai no núcleo.\n
Começo fatorando :
Começo fatorando
Fator comum
:
Reconheço dentro o quadrado perfeito
. Portanto
Isso é útil:
tem zeros em
(de multiplicidade
) e em
(de multiplicidade
).
Passo 4
Agora mostro exemplos comuns de operadores
e como testar
neles — assim você aprende a aplicar na prova, dependendo do que o enunciado do professor der.\n
Exemplo A — Diferenciação , definida por
.\n
Calcule passo a passo:
Exemplo A — Diferenciação
Calcule
derivando termo a termo:
Observe que
não é o polinômio zero (os coeficientes não são todos zero), então
. Resultado: se
, então
não está no núcleo.
Exemplo B — Avaliação em um ponto
, operador
definido por
(um número).\n
Calcule e
(útil porque fatoramos):
Calcule
Logo,
pertence a
e a
. Em palavras: se
for “avaliar em
” ou “avaliar em
”, então
está no núcleo.
Exemplo C — Multiplicação por um polinômio não-nulo
, operador
dado por
.\n
Em anéis de polinômios sobre um corpo (por exemplo ou
) não há divisores de zero, então se
então
tem núcleo somente
. Isso significa que, para operadores do tipo “multiplicar por um polinômio não-nulo”,
só estaria no núcleo se
fosse o polinômio zero — mas
não é zero, então
.
Em anéis de polinômios sobre um corpo (por exemplo
Exemplo D — Operadores dados por matriz em uma base (por exemplo base
).\n
Procedimento na prova: expresse pelos coeficientes em relação à base escolhida, forme o vetor de coeficientes e multiplique pela matriz que representa
. Se o produto der o vetor nulo, então
. Sem a matriz (ou regra), não dá para fazer isso.
Procedimento na prova: expresse
Passo 5
Receita prática que você pode usar na prova (passo a passo, sem pânico):\n
- Leia atentamente o enunciado e anote a regra de
(ex.: , ou , ou dada por uma matriz, etc.).\n - Pegue o polinômio
e compute seguindo a regra explicitada.\n - Verifique se
é o polinômio nulo (ou o vetor nulo). Se for, então ; caso contrário, não pertence.\n
Dica: fatoração como a que fiz em ) ajuda muito quandoenvolve avaliações, divisibilidade ou checagem de raízes.
Passo 6
Conclusão específica para o que você me enviou: com somente o polinômio
disponível e sem a definição de
, não é possível afirmar de forma única se
. Posso dizer casos particulares:\n
- Se
(derivada), então .\n - Se
ou (avaliação em ou ), então .\n - Se
for multiplicação por polinômio não-nulo, então .\n
Mas a resposta final depende da regra deque o enunciado deveria fornecer.
Resposta
Não é possível determinar se
pertence a
, pois o operador
não foi especificado.