Problema 13 Utilize o algoritmo de inversão para obter a inversa de cada matriz abaixo
F=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\\ \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{1}{10}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
F=\begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\[4pt] \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\[4pt] \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
\text{A matriz }F\text{ é }3\times3\text{ com entradas fracionárias conforme acima.}éá
O que se pede: encontrar F^{-1}, a matriz inversa de F.]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (algoritmo de inversão por operações elementares de linha):
  • Formamos a matriz aumentada [F\mid I], onde I é a identidade 3\times3.
  • Aplicamos operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, soma de múltiplo de uma linha em outra) para transformar a parte esquerda em I.
  • As mesmas operações feitas à direita transformam I em F^{-1}.
    Tudo isso é permitido porque operações elementares correspondem a multiplicação à esquerda por matrizes elementares, que preservam a equivalência.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [F\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & 1 & 0 & 0\\[6pt] \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{10} & 0 & 1 & 0\\[6pt] \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{1}{10} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Para simplificar as contas (evitar muitas frações durante eliminação), multiplico cada linha por 10. Isso é uma operação elementar válida; faço
R_i \leftarrow 10R_i\quad\text{para }i=1,2,3.
Obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & -4 & 10 & 0 & 0\\[6pt] 2 & 2 & 1 & 0 & 10 & 0\\[6pt] 2 & -8 & 1 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right]]

Passo 5

Elimino as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_1 para zerar colunas 1 em R_2 e R_3):
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Cálculos:
R_2 = (2,2,1\mid 0,10,0) - (2,2,-4\mid 10,0,0) = (0,0,5\mid -10,10,0),
R_3 = (2,-8,1\mid 0,0,10) - (2,2,-4\mid 10,0,0) = (0,-10,5\mid -10,0,10).
Matriz obtida:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & -4 & 10 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 5 & -10 & 10 & 0\\[6pt] 0 & -10 & 5 & -10 & 0 & 10 \end{array}\right]]

Passo 6

A segunda linha tem zero na segunda coluna; para ter um pivô não nulo na posição (2,2) troco R_2 e R_3:
R_2 \leftrightarrow R_3.
Fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & -4 & 10 & 0 & 0\\[6pt] 0 & -10 & 5 & -10 & 0 & 10\\[6pt] 0 & 0 & 5 & -10 & 10 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Faço o pivô da segunda linha igual a 1. Multiplico R_2 por -\tfrac{1}{10}:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{10}R_2.
Cálculo:
R_2 = -\tfrac{1}{10}(0,-10,5\mid -10,0,10) = (0,1,-\tfrac{1}{2}\mid 1,0,-1).
Agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & -4 & 10 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 5 & -10 & 10 & 0 \end{array}\right]]

Passo 8

Faço o pivô da terceira linha igual a 1. Multiplico R_3 por \tfrac{1}{5}:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{5}R_3.
Cálculo:
R_3 = \tfrac{1}{5}(0,0,5\mid -10,10,0) = (0,0,1\mid -2,2,0).
Agora a matriz é:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & -4 & 10 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right]]

Passo 9

Elimino a entrada da segunda coluna na primeira linha usando R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo intermedio:
2R_2 = (0,2,-1\mid 2,0,-2).
Logo
R_1 = (2,2,-4\mid 10,0,0) - (0,2,-1\mid 2,0,-2) = (2,0,-3\mid 8,0,2).
Matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & -3 & 8 & 0 & 2\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right]]

Passo 10

Elimino as entradas da terceira coluna nas linhas 1 e 2 usando R_3:
  • Para R_1 a entrada é -3, faço R_1 \leftarrow R_1 + 3R_3.
  • Para R_2 a entrada é -\tfrac{1}{2}, faço R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3.
Cálculos:
3R_3 = (0,0,3\mid -6,6,0),
R_1 + 3R_3 = (2,0,0\mid 8-6,\,0+6,\,2+0) = (2,0,0\mid 2,6,2).
\tfrac{1}{2}R_3 = (0,0,\tfrac{1}{2}\mid -1,1,0),
R_2 + \tfrac{1}{2}R_3 = (0,1,0\mid 1-1,\,0+1,\, -1+0) = (0,1,0\mid 0,1,-1).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 0 & 2 & 6 & 2\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right]]

Passo 11

Faço o pivô da primeira linha igual a 1. Multiplico R_1 por \tfrac{1}{2}:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1 = (1,0,0\mid 1,3,1).
Agora a parte esquerda é a identidade, portanto a parte direita é a inversa buscada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 0 \end{array}\right]]

Passo 12

Interpretação final: a matriz à direita é F^{-1}. Ou seja,
F^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Podemos fazer uma verificação rápida por multiplicação: multiplicando F (dados originais) por esta matriz obtém-se I. (Verificação rápida: por exemplo, primeira linha de F vezes primeira coluna de F^{-1} 1, e assim por diante — checagem total confirmada.)]

Resposta

F^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}]

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