Problema 13 Utilize o algoritmo de inversão para obter a inversa de cada matriz abaixo F=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \\\ \frac{1}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{1}{10}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
\text{A matriz }F\text{ é }3\times3\text{ com entradas fracionárias conforme acima.}éá
O que se pede: encontrar F^{-1}, a matriz inversa de F.]
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (algoritmo de inversão por operações elementares de linha):
Formamos a matriz aumentada [F\mid I], onde I é a identidade 3\times3.
Aplicamos operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, soma de múltiplo de uma linha em outra) para transformar a parte esquerda em I.
As mesmas operações feitas à direita transformam I em F^{-1}.
Tudo isso é permitido porque operações elementares correspondem a multiplicação à esquerda por matrizes elementares, que preservam a equivalência.
Podemos fazer uma verificação rápida por multiplicação: multiplicando F (dados originais) por esta matriz obtém-se I. (Verificação rápida: por exemplo, primeira linha de F vezes primeira coluna de F^{-1} dá 1, e assim por diante — checagem total confirmada.)]