Informações relevantes que temos: a matriz J é quadrada de ordem 4 e a tarefa é encontrar J^{-1}, a matriz que satisfaz J J^{-1}=I_4, onde I_4 é a matriz identidade 4\times4.]
Passo 2
Vou usar o algoritmo de inversão por eliminação (Gauss–Jordan). Ideia geral do método (explicando passo a passo como usar na prova):
Formamos a matriz aumentada [J \mid I_4], ou seja, colocamos a identidade I_4 à direita de J.
Aplicamos operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar o bloco da esquerda em I_4.
Como essas operações são equivalentes, ao final teremos [I_4 \mid J^{-1}]. Então o bloco que aparece à direita será J^{-1}.
Observação sobre operações elementares: elas preservam o conjunto de soluções de sistemas lineares e, ao aplicá-las na matriz aumentada, transformam simultaneamente J e I_4. Nas contas da prova, escreva cada operação claramente (por ex.: R_2\leftarrow R_2+R_1).
Comentário: linhas 3 e 4 já tinham zero na coluna 2, então não precisaram ser alteradas.]
Passo 7
As colunas 3 e 4 já têm pivôs limpos nas linhas 3 e 4 (pivot 1 em (3,3) e em (4,4)). Agora precisamos zerar as entradas não nulas na coluna 4 que aparecem em R_1 e R_2. Usamos R_4 (pivot na coluna 4) para isso:
Para zerar o 5 em R_1: R_1\leftarrow R_1-5R_4.
Para zerar o -2 em R_2: R_2\leftarrow R_2+2R_4.
Faço cada uma e atualizo a matriz:
Após R_1\leftarrow R_1-5R_4:
A parte esquerda: [1\\\ 0\\\ 0\\\ 5] -5[0\\\ 0\\\ 0\\\ 1] = [1\\\ 0\\\ 0\\\ 0].
Agora o bloco da esquerda é exatamente I_4. Pelo método de Gauss–Jordan, o bloco da direita é a inversa J^{-1}. Vou escrever explicitamente a matriz inversa obtida a partir das linhas à direita da aumentada.