Problema 13 Utilize o algoritmo de inversão para obter a inversa de cada matriz abaixo
J=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 1 \\\\ -1 & -3 & 0 & 1 \\\\ 3 & 6 & 1 & 3 \\\\ 2 & 4 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para obter a inversa da matriz J. A matriz dada é
J=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] -1 & -3 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 6 & 1 & 3\\[4pt] 2 & 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos: a matriz J é quadrada de ordem 4 e a tarefa é encontrar J^{-1}, a matriz que satisfaz J J^{-1}=I_4, onde I_4 é a matriz identidade 4\times4.]

Passo 2

Vou usar o algoritmo de inversão por eliminação (Gauss–Jordan). Ideia geral do método (explicando passo a passo como usar na prova):
  • Formamos a matriz aumentada [J \mid I_4], ou seja, colocamos a identidade I_4 à direita de J.
  • Aplicamos operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar o bloco da esquerda em I_4.
  • Como essas operações são equivalentes, ao final teremos [I_4 \mid J^{-1}]. Então o bloco que aparece à direita será J^{-1}.
    Observação sobre operações elementares: elas preservam o conjunto de soluções de sistemas lineares e, ao aplicá-las na matriz aumentada, transformam simultaneamente J e I_4. Nas contas da prova, escreva cada operação claramente (por ex.: R_2\leftarrow R_2+R_1).

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [J\mid I_4]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & -3 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 6 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 4 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Vou usar R_i para denotar a linha i. O pivô inicial é 1 na posição (1,1), então eliminamos as entradas abaixo dele na coluna 1.]

Passo 4

Eliminações na coluna 1:
  • R_2\leftarrow R_2+R_1.
  • R_3\leftarrow R_3-3R_1.
  • R_4\leftarrow R_4-2R_1.
Realizando essas operações obtemos
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Expliquei: cada nova linha foi obtida somando/subtraindo múltiplos de R_1 para zerar a primeira coluna nas linhas 2,3,4.]

Passo 5

Agora olhamos para a segunda coluna. O pivot natural está em R_2 e vale -1. Para facilitar, escalonamos R_2 para ter pivot 1:
  • R_2\leftarrow -1\cdot R_2.
Isso dá
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicação: ao multiplicar a linha por -1 o pivô fica 1, o que facilita zerar os outros elementos da coluna 2.]

Passo 6

Eliminamos a entrada acima do pivô na coluna 2 (a entrada 2 em R_1):
  • R_1\leftarrow R_1-2R_2.
Aplicando isso obtemos
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 5 & 3 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Comentário: linhas 3 e 4 já tinham zero na coluna 2, então não precisaram ser alteradas.]

Passo 7

As colunas 3 e 4 já têm pivôs limpos nas linhas 3 e 4 (pivot 1 em (3,3) e em (4,4)). Agora precisamos zerar as entradas não nulas na coluna 4 que aparecem em R_1 e R_2. Usamos R_4 (pivot na coluna 4) para isso:
  • Para zerar o 5 em R_1: R_1\leftarrow R_1-5R_4.
  • Para zerar o -2 em R_2: R_2\leftarrow R_2+2R_4.
Faço cada uma e atualizo a matriz:
Após R_1\leftarrow R_1-5R_4:
  • A parte esquerda: [1\\\ 0\\\ 0\\\ 5] -5[0\\\ 0\\\ 0\\\ 1] = [1\\\ 0\\\ 0\\\ 0].
  • A parte direita: [3\\\ 2\\\ 0\\\ 0] -5[-2\\\ 0\\\ 0\\\ 1] = [3+10,\\\ 2+0,\\\ 0+0,\\\ 0-5] = [13,\\\ 2,\\\ 0,\\\ -5].
Após R_2\leftarrow R_2+2R_4:
  • A parte esquerda: [0\\\ 1\\\ 0\\\ -2] +2[0\\\ 0\\\ 0\\\ 1] = [0\\\ 1\\\ 0\\\ 0].
  • A parte direita: [-1\\\ -1\\\ 0\\\ 0] +2[-2\\\ 0\\\ 0\\\ 1] = [-1-4,\\\ -1+0,\\\ 0+0,\\\ 0+2] = [-5,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 2].
Linhas 3 e 4 permanecem como estavam. Assim a matriz aumentada final fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 13 & 2 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora o bloco da esquerda é exatamente I_4. Pelo método de Gauss–Jordan, o bloco da direita é a inversa J^{-1}. Vou escrever explicitamente a matriz inversa obtida a partir das linhas à direita da aumentada.

Resposta

J^{-1}=\begin{pmatrix} 13 & 2 & 0 & -5\\[4pt] -5 & -1 & 0 & 2\\[4pt] -3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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