Problema 13. Se X é um conjunto transitivo, então \wp(X) também é transitivo.

Passo 1

O enunciado dá uma hipótese e pede uma conclusão. Especificamente:
  • Hipótese: X é um conjunto transitivo.
  • Pedido: mostrar que \wp(X) (o conjunto das partes de X) também é transitivo.
Vou listar também, de forma clara, o que precisamos provar em linguagem de conjuntos:
  • Precisamos provar que, sempre que a\in b e b\in\wp(X), então a\in\wp(X). Em fórmulas: mostrar que
\forall a\,\forall b\;\bigl((a\in b \wedge b\in\wp(X))\Rightarrow a\in\wp(X)\bigr).

Passo 2

Definições e equivalências importantes (explicadas devagarinho).
  • Definição de conjunto transitivo: um conjunto Y é dito transitivo quando todo elemento de Y é subconjunto de Y. Em símbolos:
Y\\ \text{é transitivo} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall z\,(z\in Y \Rightarrow z\subseteq Y).é
  • Uma outra forma equivalente, útil para entender, é dizer que se z\in y e y\in Y então z\in Y. Essa equivalência vem de que y\subseteq Y significa exatamente que todo elemento de y está em Y.
  • Explicando com palavras: em um conjunto transitivo, qualquer coisa que esteja dentro de um elemento do conjunto já está dentro do próprio conjunto.

Passo 3

Definição do conjunto das partes (power set).
  • Por definição,
\wp(X)=\{\,Y \mid Y\subseteq X\,\}.
Isto é, os elementos de \wp(X) são exatamente os subconjuntos de X.

Passo 4

Estratégia elementar (pegar elementos arbitrários e provar a propriedade).
  • Para mostrar que \wp(X) é transitivo convém pegar elementos arbitrários a e b e partir da hipótese a\in b e b\in\wp(X); a partir daí provar a\in\wp(X).
  • Começamos com a hipótese b\in\wp(X). Pela definição de \wp(X) isso significa
b\subseteq X.
  • Agora use a hipótese a\in b. Como b\subseteq X, desta relação segue que
a\in X.

Passo 5

Uso da transitividade de X para concluir que a é subconjunto de X.
  • Como X é transitivo (hipótese do enunciado), de a\in X obtemos
a\subseteq X.
  • Mas a\subseteq X é exatamente a condição para que a seja elemento de \wp(X). Portanto a\in\wp(X).

Passo 6

Concluir a prova e comentar a lógica final.
  • Reunindo os passos: partimos de a\in b e b\in\wp(X), deduzimos b\subseteq X, logo a\in X; pela transitividade de X deduzimos a\subseteq X; assim a\in\wp(X).
  • Como a e b foram arbitrários, isso mostra que todo elemento de elemento de \wp(X) é elemento de \wp(X); ou seja, \wp(X) é transitiva.

Resposta

Verdadeiro: \wp(X) é transitiva.

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