Problema 13. Se
é um conjunto transitivo, então
também é transitivo.
Passo 1
O enunciado dá uma hipótese e pede uma conclusão. Especificamente:
- Hipótese:
é um conjunto transitivo. - Pedido: mostrar que
(o conjunto das partes de ) também é transitivo.
Vou listar também, de forma clara, o que precisamos provar em linguagem de conjuntos:
- Precisamos provar que, sempre que
e , então . Em fórmulas: mostrar que
Passo 2
Definições e equivalências importantes (explicadas devagarinho).
- Definição de conjunto transitivo: um conjunto
é dito transitivo quando todo elemento de é subconjunto de . Em símbolos:
- Uma outra forma equivalente, útil para entender, é dizer que se
e então . Essa equivalência vem de que significa exatamente que todo elemento de está em . - Explicando com palavras: em um conjunto transitivo, qualquer coisa que esteja dentro de um elemento do conjunto já está dentro do próprio conjunto.
Passo 3
Definição do conjunto das partes (power set).
- Por definição,
Isto é, os elementos de
são exatamente os subconjuntos de
.
Passo 4
Estratégia elementar (pegar elementos arbitrários e provar a propriedade).
- Para mostrar que
é transitivo convém pegar elementos arbitrários e e partir da hipótese e ; a partir daí provar . - Começamos com a hipótese
. Pela definição de isso significa
- Agora use a hipótese
. Como , desta relação segue que
Passo 5
Uso da transitividade de
para concluir que
é subconjunto de
.
- Como
é transitivo (hipótese do enunciado), de obtemos
- Mas
é exatamente a condição para que seja elemento de . Portanto .
Passo 6
Concluir a prova e comentar a lógica final.
- Reunindo os passos: partimos de
e , deduzimos , logo ; pela transitividade de deduzimos ; assim . - Como
e foram arbitrários, isso mostra que todo elemento de elemento de é elemento de ; ou seja, é transitiva.
Resposta
Verdadeiro:
é transitiva.