Problema 14. Mostre que se A é transitivo, então
\bigcup A é transitivo.

Passo 1

O enunciado dá que A é transitiva e pede para mostrar que \bigcup A é transitiva.
Informações relevantes fornecidas:
  • Dado: A é transitiva.
  • Pedido: provar que \bigcup A é transitiva (ou seja, mostrar que toda vez que um elemento está em um membro de \bigcup A, esse elemento também pertence a \bigcup A).
Definições úteis (escritas de forma clara para usar depois):
  • Dizemos que um conjunto X é transitivo quando valem as mesmas condições equivalentes abaixo; vou usar a forma que será mais direta na prova:
    • Para todos x e y, se x\in X e y\in x então y\in X.
    • Equivalentemente, \bigcup X \subseteq X (porque todo elemento de algum membro de X já pertence a X).
  • A união de um conjunto de conjuntos é definida por: \bigcup A = \{\,u : \exists z\in A\\ (u\in z)\,\}.

Passo 2

Plano de resolução (passo a passo do que vamos provar):
  • Primeiro vou usar a hipótese de que A é transitiva para mostrar que \bigcup A \subseteq A.
  • Depois uso uma propriedade simples e útil da união: se X\subseteq Y então \bigcup X \subseteq \bigcup Y (a união é monotônica).
  • Aplicando essa propriedade com X=\bigcup A e Y=A (sabendo que \bigcup A \subseteq A) obtenho \bigcup(\bigcup A)\subseteq \bigcup A.
  • A inclusão \bigcup(\bigcup A)\subseteq \bigcup A é exatamente a condição de que \bigcup A seja transitiva (pois diz que todo elemento de membro de \bigcup A pertence a \bigcup A).
    Vou executar esse plano com detalhes elementares e explicados.

Passo 3

Mostro que, a partir de A transitiva, vem \bigcup A \subseteq A.
Seja u um elemento arbitrário de \bigcup A. Pela definição de união, existe algum z\in A tal que u\in z. Como A é transitiva e z\in A e u\in z, pela definição de transitividade segue que u\in A. Como u era um elemento arbitrário de \bigcup A, concluímos que
\bigcup A \subseteq A.
Aqui o raciocínio foi um “element-chasing” simples: pegar um elemento da união e usar a transitividade de A para mostrar que ele já está em A.

Passo 4

Provo a propriedade de monotonicidade da união que vou usar: se X\subseteq Y então \bigcup X \subseteq \bigcup Y.
Prova curta: suponha X\subseteq Y. Seja v\in \bigcup X. Então existe w\in X com v\in w. Como X\subseteq Y, tem-se w\in Y. Portanto v\in \bigcup Y. Como v foi arbitrário, \bigcup X \subseteq \bigcup Y. QED.
Essa propriedade é intuitiva: juntar os elementos dos membros de um conjunto menor dá um conjunto contido em juntar os elementos dos membros de um conjunto maior.

Passo 5

Aplico a monotonicidade com X=\bigcup A e Y=A, usando que já provamos \bigcup A \subseteq A.
Pela Passo 3 temos \bigcup A \subseteq A. Então pela monotonicidade (Passo 4),
\bigcup(\bigcup A) \subseteq \bigcup A.
Mas a inclusão \bigcup(\bigcup A) \subseteq \bigcup A é exatamente a definição de transitividade para o conjunto \bigcup A: significa que todo elemento de algum membro de \bigcup A pertence a \bigcup A. Em termos elementares: se x\in \bigcup A e y\in x, então y\in \bigcup A.

Passo 6

Concluo: a inclusão \bigcup(\bigcup A)\subseteq \bigcup A mostra que \bigcup A satisfaz a condição de transitividade. Portanto \bigcup A é transitiva.
Comentário rápido e exemplo para fixar: conjuntos transitivos incluem \varnothing (a união é \varnothing) e conjuntos como \{\,\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\,\} — brincar com exemplos pequenos ajuda a entender o “fechamento” da transitividade: elementos das partes já ficam dentro do conjunto.

Resposta

\bigcup A é transitiva.

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