Problema 14. Mostre que se
é transitivo, então
é transitivo.
Passo 1
O enunciado dá que
é transitiva e pede para mostrar que
é transitiva.
Informações relevantes fornecidas:
- Dado:
é transitiva. - Pedido: provar que
é transitiva (ou seja, mostrar que toda vez que um elemento está em um membro de , esse elemento também pertence a ).
Definições úteis (escritas de forma clara para usar depois):
- Dizemos que um conjunto
é transitivo quando valem as mesmas condições equivalentes abaixo; vou usar a forma que será mais direta na prova: - Para todos
e , se e então . - Equivalentemente,
(porque todo elemento de algum membro de já pertence a ).
- Para todos
- A união de um conjunto de conjuntos é definida por:
Passo 2
Plano de resolução (passo a passo do que vamos provar):
- Primeiro vou usar a hipótese de que
é transitiva para mostrar que . - Depois uso uma propriedade simples e útil da união: se
então (a união é monotônica). - Aplicando essa propriedade com
e (sabendo que ) obtenho . - A inclusão
é exatamente a condição de que seja transitiva (pois diz que todo elemento de membro de pertence a ).
Vou executar esse plano com detalhes elementares e explicados.
Passo 3
Mostro que, a partir de
transitiva, vem
.
Seja
um elemento arbitrário de
. Pela definição de união, existe algum
tal que
. Como
é transitiva e
e
, pela definição de transitividade segue que
. Como
era um elemento arbitrário de
, concluímos que
Aqui o raciocínio foi um “element-chasing” simples: pegar um elemento da união e usar a transitividade de
para mostrar que ele já está em
.
Passo 4
Provo a propriedade de monotonicidade da união que vou usar: se
então
.
Prova curta: suponha
. Seja
. Então existe
com
. Como
, tem-se
. Portanto
. Como
foi arbitrário,
. QED.
Essa propriedade é intuitiva: juntar os elementos dos membros de um conjunto menor dá um conjunto contido em juntar os elementos dos membros de um conjunto maior.
Passo 5
Aplico a monotonicidade com
e
, usando que já provamos
.
Pela Passo 3 temos
. Então pela monotonicidade (Passo 4),
Mas a inclusão
é exatamente a definição de transitividade para o conjunto
: significa que todo elemento de algum membro de
pertence a
. Em termos elementares: se
e
, então
.
Passo 6
Concluo: a inclusão
mostra que
satisfaz a condição de transitividade. Portanto
é transitiva.
Comentário rápido e exemplo para fixar: conjuntos transitivos incluem
(a união é
) e conjuntos como
— brincar com exemplos pequenos ajuda a entender o “fechamento” da transitividade: elementos das partes já ficam dentro do conjunto.