Problema 14. Mostre que se A é transitivo, então
\bigcap A é transitivo.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar que, se A é transitivo, então \bigcap A é transitivo.
Para evitar ambiguidade vou adotar a interpretação natural para este exercício (que costuma ser a pretendida em teoria dos conjuntos): a hipótese " A é transitivo" significa que cada membro de A é um conjunto transitivo. Ou seja, estou assumindo
\forall B\in A\; (B\text{ é transitivo}).é
Também registro a definição do que devemos provar: \bigcap A é transitivo significa
\forall x\in\bigcap A\; \forall y\in x\; (y\in\bigcap A).
Informações relevantes dadas ou necessárias:
  • A é um conjunto cujo elementos são conjuntos (cada B\in A é um conjunto transitivo).
  • Definição de interseção de uma família de conjuntos:
\bigcap A=\{\,z:\forall B\in A,\\ z\in B\,\}.

Passo 2

Relembrando a definição de conjunto transitivo (aqui bem mastigada):
Um conjunto B é dito transitivo quando todo elemento de um elemento de B é já um elemento de B. Em formulção equivalente,
B\text{ é transitivo} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall u\in B\; \forall v\in u\; (v\in B).é
Outra forma útil: cada u\in B satisfaz u\subseteq B.
Exemplo simples para fixar a ideia: \varnothing é transitivo (não há u\in\varnothing para violar a condição). O conjunto \{\varnothing\} também é transitivo, porque seu único elemento é \varnothing e todos os elementos de \varnothing (nenhum) pertencem a \{\varnothing\} vacuamente.

Passo 3

Descrever o que significa \bigcap A:
Por definição,
\bigcap A=\{\,x:\forall B\in A,\\ x\in B\,\}.
Ou seja, um elemento x pertence a \bigcap A exatamente quando x pertence a todo membro de A.
Aviso prático (para quem for formalizar em ZF): quando A=\varnothing a condição \forall B\in A é vacuamente verdadeira e \bigcap\varnothing seria a classe de todos os conjuntos; aqui normalmente supõe-se A\neq\varnothing ou trabalha-se apenas com famílias não vazias para que \bigcap A seja mesmo um conjunto. No exercício típico assume-se A não vazia ou que a interseção faz sentido como conjunto.

Passo 4

Estratégia do prova (passo a passo do que vamos mostrar):
Queremos provar que \bigcap A é transitivo. Logo pegamos um elemento arbitrário x\in\bigcap A e um elemento arbitrário y\in x e mostramos que y\in\bigcap A. Para mostrar y\in\bigcap A devemos mostrar que, para qualquer B\in A, vale y\in B. Como a hipótese é que cada B\in A é transitivo, podemos usar a transitividade de B junto com o fato x\in B (porque x\in\bigcap A) para deduzir y\in B. Como B foi arbitrário, teremos y em toda B\in A, isto é y\in\bigcap A.

Passo 5

Prova formal seguindo a estratégia:
Seja x\in\bigcap A e seja y\in x. Queremos mostrar y\in\bigcap A.
Tomemos um membro arbitrário B\in A. Como x\in\bigcap A, pela definição de interseção temos x\in B. Pela hipótese, B é transitivo; pela definição de transitividade de B, do fato x\in B e y\in x segue y\in B. Como B foi escolhido arbitrariamente em A, concluímos que para todo B\in A vale y\in B. Portanto, pelo critério da interseção, y\in\bigcap A.
Assim mostramos: se x\in\bigcap A e y\in x então y\in\bigcap A. Isso é exatamente a definição de que \bigcap A é transitivo.

Passo 6

Pequeno comentário final e encorajamento: a prova é curta — a ideia é sempre essa: pegar um elemento comum a todos os membros da família, pegar um elemento desse elemento e usar a transitividade de cada membro para garantir que esse elemento “baixo” também está presente em todos os membros. Você já pode usar esse mesmo raciocínio para variações (por exemplo, interseção de qualquer família de conjuntos que sejam todos reflexivos de alguma propriedade herda essa propriedade quando ela é do tipo “se x\in B e y\in x então …”).

Resposta

\bigcap A é transitivo.

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