Problema 14
Um cadeado digital possui uma combinação secreta de três dígitos diferentes. As tentativas a seguir foram feitas para descobrir a combinação correta. Cada linha indica uma tentativa e a dica recebida após inseri-la.
Dicas:
- “Correto e bem-posicionado”: o dígito está na combinação e na posição certa.
- “Correto, mas mal posicionado”: o dígito está na combinação, mas na posição errada.
- “Incorreto”: o dígito não faz parte da combinação.
Tentativa Resposta
(1) 1-2-7 Um dígito está correto e bem-posicionado
(2) 2-9-1 Dois dígitos corretos, mas mal posicionados
(3) 4-9-7 Dois dígitos corretos, mas mal posicionados
(4) 8-1-7 Nada está correto
Com base nas tentativas acima, qual é a única combinação correta para abrir o cadeado?
(A) 9.2-4
(B) 2.9.4
(C) 4.2.9
(D) 9-3-4
(E) 9.2 .7
(2) 2-9-1 Dois dígitos corretos, mas mal posicionados
(3) 4-9-7 Dois dígitos corretos, mas mal posicionados
(4) 8-1-7 Nada está correto
(A) 9.2-4
(B) 2.9.4
(C) 4.2.9
(D) 9-3-4
(E) 9.2 .7
Passo 1
O enunciado é um problema de dedução tipo “Mastermind” em que a combinação secreta é um triplete de dígitos distintos
. As dicas dizem, para cada tentativa:
- quais dígitos estão certos e na posição exata,
- quais estão certos, mas na posição errada,
- quais não estão no código.
Vamos usar lógica de eliminação e posicionamento.
Passo 2
Da dica (
): tentativa
-
-
“Nada está correto”.
Logo
Logo
Passo 3
Da dica (
): tentativa
-
-
“Um dígito correto e bem-posicionado”.
Como e
já foram eliminados, o dígito certo deve ser
na posição do meio. Portanto
Como
Passo 4
Restam duas posições
e dois dígitos possíveis que aparecem nas outras dicas:
e
.
- Dica (
), - - : diz “dois dígitos corretos, mas mal posicionados”. O está eliminado, restam e , ambos devem existir, porém em posições diferentes das testadas. - Dica (
), - - : diz “dois dígitos corretos, mas mal posicionados”. O está eliminado, restam e , ambos existem, mas não nas posições e daquela tentativa.
Isso mostra quee que nem pode estar em da tentativa ( ), nem pode estar em (o que já sabíamos).
Passo 5
Testamos as duas ordens possíveis:
- Se
, na dica ( ) o ficaria bem-posicionado em , mas a dica exige mal posicionados descarta. - Se
, todas as dicas ( ),( ),( ),( ) encaixam sem contradição.
Resposta
A combinação correta é
-
-
, ou seja, alternativa (A).