Problema 14

Um cadeado digital possui uma combinação secreta de três dígitos diferentes. As tentativas a seguir foram feitas para descobrir a combinação correta. Cada linha indica uma tentativa e a dica recebida após inseri-la.

Dicas:

  • “Correto e bem-posicionado”: o dígito está na combinação e na posição certa.
  • “Correto, mas mal posicionado”: o dígito está na combinação, mas na posição errada.
  • “Incorreto”: o dígito não faz parte da combinação.

Tentativa Resposta

(1) 1-2-7 Um dígito está correto e bem-posicionado
(2) 2-9-1 Dois dígitos corretos, mas mal posicionados
(3) 4-9-7 Dois dígitos corretos, mas mal posicionados
(4) 8-1-7 Nada está correto
Com base nas tentativas acima, qual é a única combinação correta para abrir o cadeado?
(A) 9.2-4
(B) 2.9.4
(C) 4.2.9
(D) 9-3-4
(E) 9.2 .7

Passo 1

O enunciado é um problema de dedução tipo “Mastermind” em que a combinação secreta é um triplete de dígitos distintos (d1,d2,d3). As dicas dizem, para cada tentativa:
  • quais dígitos estão certos e na posição exata,
  • quais estão certos, mas na posição errada,
  • quais não estão no código.
    Vamos usar lógica de eliminação e posicionamento.

Passo 2

Da dica ( 4): tentativa 8- 1- 7 to “Nada está correto”.
Logo
8,,1,,7notind1,d2,d3

Passo 3

Da dica ( 1): tentativa 1- 2- 7 to “Um dígito correto e bem-posicionado”.
Como 1 e 7 já foram eliminados, o dígito certo deve ser 2 na posição do meio. Portanto
d2 = 2

Passo 4

Restam duas posições (d1,d3) e dois dígitos possíveis que aparecem nas outras dicas: 4 e 9.
  • Dica ( 2), 2- 9- 1: diz “dois dígitos corretos, mas mal posicionados”. O 1 está eliminado, restam 2 e 9, ambos devem existir, porém em posições diferentes das testadas.
  • Dica ( 3), 4- 9- 7: diz “dois dígitos corretos, mas mal posicionados”. O 7 está eliminado, restam 4 e 9, ambos existem, mas não nas posições 1 e 2 daquela tentativa.
    Isso mostra que d1,d3=4,9 e que nem 4 pode estar em d1 da tentativa ( 3), nem 9 pode estar em d2 (o que já sabíamos).

Passo 5

Testamos as duas ordens possíveis:
  • Se (d1,d3)=(4,9), na dica ( 3) o 4 ficaria bem-posicionado em d1, mas a dica exige mal posicionados to descarta.
  • Se (d1,d3)=(9,4), todas as dicas ( 1),( 2),( 3),( 4) encaixam sem contradição.

Resposta

A combinação correta é 9- 2- 4, ou seja, alternativa (A).

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