Um robô danificado, chamado R-2, só consegue utilizar os algarismos 1,2,3,4 e 5 . Ainda assim, ele consegue escrever números de 5 algarismos.
Quantos desses números de 5 algarismos ele pode formar contendo exatamente dois algarismos 3 , que estejam separados por exatamente um algarismo par (2 ou 4)?
O 64
O 96
O 128

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de 5 dígitos, formados com os algarismos 1,2,3,4,5, que tenham exatamente duas ocorrências de 3 e essas duas ocorrências estejam separadas por exatamente um algarismo par (ou seja, 2 ou 4).

Passo 2

Para que haja exatamente dois 3 separados por um par, elas devem ocupar posições i e i+2 em um número de 5 dígitos, com i=1,2 ou 3. Logo, há 3 possibilidades de escolha do par de posições para os 3:
  • (i,i+2)=(1,3)
  • (i,i+2)=(2,4)
  • (i,i+2)=(3,5)

Passo 3

Fixada uma dessas escolhas de posições:
  • O dígito intermediário (na posição i+1) deve ser par em 2,4, dando 2 opções.
  • As outras duas posições restantes (as que não são i, i+1 nem i+2) não podem ser 3, mas podem ser qualquer elemento de 1,2,4,5, dando 4 opções para cada uma dessas posições.
Portanto, para uma escolha fixa de (i,i+2) o total de números é
2 times 4^2 = 2 times 16 = 32

Passo 4

Como são 3 escolhas de (i,i+2) e não há sobreposição (com exatamente duas ocorrências de 3 cada número só se encaixa em um desses casos), o total é
3 times 32 = 96

Resposta

96

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