e pede duas coisas:
(a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada;
(b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
A EDO é linear, homogênea e com coeficientes constantes.
Não foram dadas condições iniciais — então a solução geral dependerá de duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Idéia de método (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito comum tentar uma solução do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivadas de exponenciais são múltiplos da própria exponencial, o que transforma a EDO numa equação algébrica para o parâmetro r. Vou mostrar isso passo a passo.
Essas são as duas soluções particulares pedidas no item (a).
Passo 6
Por que y_{1} e y_{2} são independentes (ou seja, formam uma base de soluções)? Explicação didática: para duas funções y_{1} e y_{2} a independência linear pode ser verificada pelo Wronskiano
Como r_{1}\neq r_{2}, então r_{2}-r_{1}\neq 0 e o Wronskiano é diferente de zero para todo x, o que prova que as soluções são linearmente independentes.
Passo 7
Conclusão sobre a forma da solução geral (explicação didática): para uma EDO linear homogênea de segunda ordem, se encontrarmos duas soluções linearmente independentes y_{1} e y_{2}, a solução geral é a combinação linear
y(x) = C_{1} y_{1}(x) + C_{2} y_{2}(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (que seriam determinadas por condições iniciais, se existissem).
Passo 8
Aplicando isso ao nosso caso com y_{1} e y_{2} encontrados, obtemos explicitamente a solução geral: