Problema 12 : Dada a EDO homogênea de 2^{\mathrm{a}} ordem
9 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-12 \frac{d y}{d x}+y=0
(a) Encontre duas soluções particulares da EDO dada.
(b) Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
9 \frac{d^{2}y}{d x^{2}} - 12 \frac{d y}{d x} + y = 0
e pede duas coisas:
(a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada;
(b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A EDO é linear, homogênea e com coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais — então a solução geral dependerá de duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Idéia de método (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito comum tentar uma solução do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivadas de exponenciais são múltiplos da própria exponencial, o que transforma a EDO numa equação algébrica para o parâmetro r. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule as derivadas de y(x)=e^{r x}:
\frac{d y}{d x} = r e^{r x}, \qquad \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}.
Substituindo essas expressões na EDO dada obtemos:
9 (r^{2} e^{r x}) - 12 (r e^{r x}) + (e^{r x}) = 0.
Como e^{r x} nunca é zero para qualquer x, podemos dividir toda a equação por e^{r x} e ficar apenas com uma equação para r.

Passo 4

Obtemos a equação característica (uma quadrática em r):
9 r^{2} - 12 r + 1 = 0.
Agora resolvemos essa quadrática. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^{2} - 4\cdot 9 \cdot 1}}{2\cdot 9}.
Calcule o discriminante passo a passo:
(-12)^{2} - 4\cdot 9 \cdot 1 = 144 - 36 = 108.
Extraindo a raiz quadrada:
\sqrt{108} = \sqrt{36\cdot 3} = 6\sqrt{3}.
Substituindo de volta na fórmula:
r = \frac{12 \pm 6\sqrt{3}}{18}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 6:
r = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Portanto temos duas raízes reais distintas da equação característica:
r_{1} = \frac{2 + \sqrt{3}}{3}, \qquad r_{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}.
Cada uma gera uma solução exponencial da EDO:
y_{1}(x) = e^{r_{1} x} = e^{\frac{2+\sqrt{3}}{3}x}, \qquad y_{2}(x) = e^{r_{2} x} = e^{\frac{2-\sqrt{3}}{3}x}.
Essas são as duas soluções particulares pedidas no item (a).

Passo 6

Por que y_{1} e y_{2} são independentes (ou seja, formam uma base de soluções)? Explicação didática: para duas funções y_{1} e y_{2} a independência linear pode ser verificada pelo Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x) \\\ y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
No caso de exponenciais y_{1}=e^{r_{1}x}, y_{2}=e^{r_{2}x} temos
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} e^{r_{1}x} & e^{r_{2}x} \\\ r_{1}e^{r_{1}x} & r_{2}e^{r_{2}x} \end{vmatrix} = (r_{2}-r_{1}) e^{(r_{1}+r_{2})x}.
Como r_{1}\neq r_{2}, então r_{2}-r_{1}\neq 0 e o Wronskiano é diferente de zero para todo x, o que prova que as soluções são linearmente independentes.

Passo 7

Conclusão sobre a forma da solução geral (explicação didática): para uma EDO linear homogênea de segunda ordem, se encontrarmos duas soluções linearmente independentes y_{1} e y_{2}, a solução geral é a combinação linear
y(x) = C_{1} y_{1}(x) + C_{2} y_{2}(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (que seriam determinadas por condições iniciais, se existissem).

Passo 8

Aplicando isso ao nosso caso com y_{1} e y_{2} encontrados, obtemos explicitamente a solução geral:
y(x) = C_{1} e^{\frac{2+\sqrt{3}}{3}x} + C_{2} e^{\frac{2-\sqrt{3}}{3}x},
com C_{1},C_{2} constantes reais arbitrárias.

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{\frac{2+\sqrt{3}}{3}x}, y_{2}(x)=e^{\frac{2-\sqrt{3}}{3}x}
(b) y(x)=C_{1}e^{\frac{2+\sqrt{3}}{3}x}+C_{2}e^{\frac{2-\sqrt{3}}{3}x}

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