Demonstrar, através de um exemplo, que a conclusão do Problema 12 é falsa se admitirmos, ao invés:
(a") Existe um e \in G tal que a \cdot e=a para todo a \in G.
(b) Dado a \in G, existe um elemento y(a) \in G tal que a \cdot y(a)=e.

Passo 1

O enunciado pede um contraexemplo: devo apresentar um conjunto G com uma operação binária que satisfaça as hipóteses
\text{(a") } \exists\, e\in G\\ \text{tal que}\\ a\cdot e = a\\ \text{para todo } a\in G,
\text{(b) } \forall\, a\in G\\ \exists\, y(a)\in G\\ \text{tal que}\\ a\cdot y(a)=e,
mas em que a conclusão do Problema 12 (isto é, a conclusão que era verdadeira sob as hipóteses originais) deixe de valer.
O que eu tenho de mostrar é, portanto, um exemplo concreto de G e da operação \cdot que satisfaça (a") e (b) e que, ainda assim, não atenda à conclusão desejada (por exemplo: não seja um grupo — falhe em ter identidade à esquerda, inversos à esquerda, ou associatividade).

Passo 2

Vou construir uma estrutura bem simples: tome o conjunto
G=\{e,a\}.
Defino a operação \cdot por meio da seguinte tabela (lista explícita das multiplicações):
e\cdot e = e,\qquad e\cdot a = e,\qquad a\cdot e = a,\qquad a\cdot a = e.
É importante entender cada uma dessas igualdades: elas definem completamente o produto de quaisquer dois elementos de G. Esta escolha foi preparada para garantir que a\cdot e=a e que a\cdot a=e, facilitando verificar (a") e (b).

Passo 3

Verificação de (a"): precisamos checar que existe um e\in G tal que x\cdot e = x para todo x\in G.
  • Para x=e: e\cdot e = e (pela definição).
  • Para x=a: a\cdot e = a (pela definição).
    Logo a propriedade (a") é satisfeita com o elemento e escolhido.

Passo 4

Verificação de (b): para cada x\in G existe y(x)\in G tal que x\cdot y(x)=e.
  • Para x=e: e\cdot e = e, então podemos tomar y(e)=e.
  • Para x=a: a\cdot a = e, então podemos tomar y(a)=a.
    Portanto toda x\in G tem um elemento y(x) com x\cdot y(x)=e. A propriedade (b) é satisfeita.

Passo 5

Agora mostro que a conclusão do Problema 12 (por exemplo: que G é um grupo, ou que e é identidade à esquerda) falha nesse exemplo. Observe que
e\cdot a = e \neq a.
Portanto e NÃO é identidade à esquerda (isto é, não vale e\cdot a = a para todo a). Como um dos requisitos para ser grupo é que exista um elemento identidade que funcione tanto à direita quanto à esquerda, aqui essa condição não ocorre. Além disso, a associatividade falha em pelo menos um caso: calcule
(a\cdot e)\cdot a = (a)\cdot a = e,
enquanto
a\cdot(e\cdot a) = a\cdot e = a.
Como e\neq a, tem-se (a\cdot e)\cdot a \neq a\cdot(e\cdot a), logo a operação não é associativa. Portanto a estrutura não é um grupo e a conclusão desejada (obter um grupo ou as propriedades deduzidas em Problema 12) não vale sob as hipóteses (a") e (b).

Resposta

Considere G=\{e,a\} com a operação dada por
e\cdot e = e,\quad e\cdot a = e,\quad a\cdot e = a,\quad a\cdot a = e.
Esta estrutura satisfaz (a") e (b) mas não tem identidade à esquerda (pois e\cdot a=e\neq a) e não é associativa, portanto a conclusão do Problema 12 falha.

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