Demonstrar, através de um exemplo, que a conclusão do Problema 12 é falsa se admitirmos, ao invés:
(a") Existe um
tal que
para todo
.
(b) Dado
, existe um elemento
tal que
.
(a") Existe um
(b) Dado
Passo 1
O enunciado pede um contraexemplo: devo apresentar um conjunto
com uma operação binária que satisfaça as hipóteses
mas em que a conclusão do Problema 12 (isto é, a conclusão que era verdadeira sob as hipóteses originais) deixe de valer.
O que eu tenho de mostrar é, portanto, um exemplo concreto de e da operação
que satisfaça (a") e (b) e que, ainda assim, não atenda à conclusão desejada (por exemplo: não seja um grupo — falhe em ter identidade à esquerda, inversos à esquerda, ou associatividade).
O que eu tenho de mostrar é, portanto, um exemplo concreto de
Passo 2
Vou construir uma estrutura bem simples: tome o conjunto
Defino a operação
por meio da seguinte tabela (lista explícita das multiplicações):
É importante entender cada uma dessas igualdades: elas definem completamente o produto de quaisquer dois elementos de
. Esta escolha foi preparada para garantir que
e que
, facilitando verificar (a") e (b).
Passo 3
Verificação de (a"): precisamos checar que existe um
tal que
para todo
.
- Para
: (pela definição). - Para
: (pela definição).
Logo a propriedade (a") é satisfeita com o elementoescolhido.
Passo 4
Verificação de (b): para cada
existe
tal que
.
- Para
: , então podemos tomar . - Para
: , então podemos tomar .
Portanto todatem um elemento com . A propriedade (b) é satisfeita.
Passo 5
Agora mostro que a conclusão do Problema 12 (por exemplo: que
é um grupo, ou que
é identidade à esquerda) falha nesse exemplo. Observe que
Portanto
NÃO é identidade à esquerda (isto é, não vale
para todo
). Como um dos requisitos para ser grupo é que exista um elemento identidade que funcione tanto à direita quanto à esquerda, aqui essa condição não ocorre. Além disso, a associatividade falha em pelo menos um caso: calcule
enquanto
Como
, tem-se
, logo a operação não é associativa. Portanto a estrutura não é um grupo e a conclusão desejada (obter um grupo ou as propriedades deduzidas em Problema 12) não vale sob as hipóteses (a") e (b).
Resposta
Considere
com a operação dada por
Esta estrutura satisfaz (a") e (b) mas não tem identidade à esquerda (pois
) e não é associativa, portanto a conclusão do Problema 12 falha.