Problema 15. Prove que um conjunto X é transitivo se, e somente se
\bigcup_{Y \in X} Y \subset X

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência lógica:
X \text{ é transitivo} \quad\Longleftrightarrow\quad \bigcup_{Y\in X} Y \subset X.é
As informações/dados que temos são:
  • X é um conjunto arbitrário (nenhuma outra hipótese é dada).
  • A notação \bigcup_{Y\in X} Y significa o conjunto união de todos os elementos de X; isto é, por definição,
\bigcup_{Y\in X} Y = \{\,x \mid \exists Y\in X\text{ tal que }x\in Y\,\}.
  • A relação de inclusão \subset significa: A\subset B se, e somente se, para todo elemento a\in A vale a\in B.
O objetivo é então demonstrar as duas implicações: (i) se X é transitivo então \bigcup_{Y\in X} Y \subset X; (ii) se \bigcup_{Y\in X} Y \subset X então X é transitivo.

Passo 2

Lembrando a definição de conjunto transitivo: dizer que X é transitivo significa exatamente que
\forall Y\,(Y\in X \Rightarrow Y\subset X).
Explicando essa frase: para todo conjunto Y, se Y é um elemento de X então todo elemento de Y também é elemento de X. Em forma equivalente, para todo Y\in X e para todo x, se x\in Y então x\in X.
Agora vamos provar a primeira implicação: suposição e objetivo.
Suponha que X é transitivo. Queremos mostrar que
\bigcup_{Y\in X} Y \subset X,
ou seja, provar que todo elemento de \bigcup_{Y\in X} Y pertence a X.

Passo 3

Prova da primeira implicação (se X é transitivo então \bigcup_{Y\in X} Y \subset X) — desenvolvimento detalhado:
  1. Tome um elemento arbitrário x tal que x\in \bigcup_{Y\in X} Y.
  2. Pela definição de união, a afirmação x\in \bigcup_{Y\in X} Y significa que existe algum Y com Y\in X e x\in Y. Em símbolos:
\exists Y\in X \text{ tal que } x\in Y.
  1. Como X é transitivo, para esse mesmo Y\in X vale Y\subset X. Portanto todo elemento de Y pertence a X.
  2. Em particular, do item anterior segue x\in X.
  3. Mostramos que um elemento arbitrário x de \bigcup_{Y\in X} Y pertence a X. Logo, por definição de inclusão,
\bigcup_{Y\in X} Y \subset X.
Isso conclui a prova da primeira implicação.

Passo 4

Prova da segunda implicação (se \bigcup_{Y\in X} Y \subset X então X é transitivo) — desenvolvimento detalhado:
  1. Suponha agora que \bigcup_{Y\in X} Y \subset X.
  2. Para mostrar que X é transitivo precisamos provar que para todo Y, se Y\in X então Y\subset X. Então tome um Y arbitrário tal que Y\in X, e tome um elemento arbitrário x\in Y.
  3. Pela definição de união, qualquer tal x\in Y com Y\in X satisfaz x\in \bigcup_{Y\in X} Y (porque existe um Y\in X que contém x).
  4. Pela hipótese \bigcup_{Y\in X} Y \subset X, desse passo segue x\in X.
  5. Como x era um elemento arbitrário de Y, mostramos que todo x\in Y pertence a X, isto é Y\subset X.
  6. Como Y\in X foi arbitrário, concluímos que para todo Y\in X vale Y\subset X. Portanto X é transitivo.

Passo 5

Comentário didático e exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • A equivalência é quase tautológica se se entender bem as definições: “transitivo” significa "elementos de elementos estão em X"; a união \bigcup_{Y\in X} Y é exatamente o conjunto de todos os elementos de elementos de X. Então exigir que essa união esteja contida em X é a mesma exigência que a definição de transitividade.
  • Exemplo positivo: se X=\{\,\varnothing,\{\varnothing\}\,\} então
\bigcup_{Y\in X} Y=\varnothing\cup\{\varnothing\}=\{\varnothing\},
e de fato \{\varnothing\}\subset X, logo X é transitivo.
  • Exemplo negativo: se X=\{\{1\}\} então
\bigcup_{Y\in X} Y=\{1\},
mas 1\notin X (pois o único membro de X é \{1\}), então \bigcup_{Y\in X} Y\not\subset X e X não é transitivo.

Resposta

X\text{ é transitivo}\iff \displaystyle\bigcup_{Y\in X} Y \subset Xé

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