Problema 15. Prove que um conjunto
é transitivo se, e somente se
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência lógica:
As informações/dados que temos são:
-
é um conjunto arbitrário (nenhuma outra hipótese é dada). - A notação
significa o conjunto união de todos os elementos de ; isto é, por definição,
- A relação de inclusão
significa: se, e somente se, para todo elemento vale .
O objetivo é então demonstrar as duas implicações: (i) se
é transitivo então
; (ii) se
então
é transitivo.
Passo 2
Lembrando a definição de conjunto transitivo: dizer que
é transitivo significa exatamente que
Explicando essa frase: para todo conjunto
, se
é um elemento de
então todo elemento de
também é elemento de
. Em forma equivalente, para todo
e para todo
, se
então
.
Agora vamos provar a primeira implicação: suposição e objetivo.
Suponha que
é transitivo. Queremos mostrar que
ou seja, provar que todo elemento de
pertence a
.
Passo 3
Prova da primeira implicação (se
é transitivo então
) — desenvolvimento detalhado:
- Tome um elemento arbitrário
tal que . - Pela definição de união, a afirmação
significa que existe algum com e . Em símbolos:
- Como
é transitivo, para esse mesmo vale . Portanto todo elemento de pertence a . - Em particular, do item anterior segue
. - Mostramos que um elemento arbitrário
de pertence a . Logo, por definição de inclusão,
Isso conclui a prova da primeira implicação.
Passo 4
Prova da segunda implicação (se
então
é transitivo) — desenvolvimento detalhado:
- Suponha agora que
. - Para mostrar que
é transitivo precisamos provar que para todo , se então . Então tome um arbitrário tal que , e tome um elemento arbitrário . - Pela definição de união, qualquer tal
com satisfaz (porque existe um que contém ). - Pela hipótese
, desse passo segue . - Como
era um elemento arbitrário de , mostramos que todo pertence a , isto é . - Como
foi arbitrário, concluímos que para todo vale . Portanto é transitivo.
Passo 5
Comentário didático e exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
A equivalência é quase tautológica se se entender bem as definições: “transitivo” significa "elementos de elementos estão em
"; a união é exatamente o conjunto de todos os elementos de elementos de . Então exigir que essa união esteja contida em é a mesma exigência que a definição de transitividade. -
Exemplo positivo: se
então
e de fato
, logo
é transitivo.
- Exemplo negativo: se
então
mas
(pois o único membro de
é
), então
e
não é transitivo.