Problema 1.14 Seja Pa j(t) a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo ( a ), no instante t.
(a) Mostre que
d Pp bd t=J(a, t)-J(b, t),
onde
J(x, t) equiv i hbar2 m(Psi partial Psi^*partial x-Psi^* partial Psipartial x)
Quais são as unidades de J(x, t) ? Observação: Jé chamada de corrente de probabilidade, pois estabelece a taxa com que a probabilidade ‘flui’ através do ponto x. Se Pa b(t) aumenta, então mais probabilidade está fluindo para dentro da região em uma extremidade do que está fluindo para fora na outra.
(b) Encontre a corrente de probabilidade para a função de onda no Problema 1.9. (Não acho que esse exemplo seja muito bom; encontraremos outros mais instrutivos oportunamente.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a probabilidade
Pa b(t)=integrala^b|Psi(x,t)|^2,dx
de achar a partícula entre dPa bdt=J(a,t)-J(b,t), e J(x,t)=ihbar2ml(Psi,partialxPsi^*-Psi^*,partialxPsir) no tempo .
A parte (a) pede pra mostrar que
onde
é a tal “corrente de probabilidade”.
Depois querem a unidade de .
Na parte (b) a gente aplica isso a uma função de onda dada no Problema 1.9 (que é real), e vê qual é ali.
Pra resolver precisamos:
  1. usar a equação de Schrödinger (e sua conjugada);
  2. trocar a derivada no tempo com a integral em ;
  3. integrar por partes em .

Passo 2

Começando de fato, escrevemos
Pa b(t)=integrala^bPsi^*(x,t),Psi(x,t),dx
Diferenciando em dPa bdt =integrala^bl(Psi^*partialPsipartial t+Psi,partialPsi^*partial tr),dx :
ihbar,partialtPsi=-hbar^22mpartialx^2Psi+VPsi, -ihbar,partialtPsi^*=-hbar^22mpartialx^2Psi^*+VPsi^*
Agora entramos com a equação de Schrödinger unidimensional sem potencial extra (ou com potencial real Psi^*partialtPsi =Psi^*l(-ihbar2mpartialx^2Psi+ihbarVPsir), Psi,partialtPsi^* =Psil(+ihbar2mpartialx^2Psi^*-ihbarVPsi^*r) , que não contribui ao imaginar):
Psi^*partialtPsi+Psi,partialtPsi^* =-ihbar2ml(Psi^*partialx^2Psi-Psi,partialx^2Psi^*r)
Então
dPa bdt =-ihbar2mintegrala^bl(Psi^*partialx^2Psi-Psi,partialx^2Psi^*r),dx
Somando dá (o termo com dPa bdt =l[ihbar2ml(Psi,partialxPsi^*-Psi^*,partialxPsir)r]a^b =J(a,t)-J(b,t) some, pois é puro imaginário vezes mais o conjugado):
Logo
Fazendo integração por partes em cada termo (e assumindo que e decaem ou são contínuos na fronteira), sobra só o contorno:

Passo 3

Agora as unidades de .
Sabemos que tem dimensão de probabilidade por comprimento (pra integrar em dar sem unidade).
Em temos 1/(comprimento·tempo).
Pela equação de continuidade
,
a derivada espacial de tem 1/(comprimento·tempo),
logo tem 1/tempo.
Ou seja, unidade de s : é taxa de probabilidade fluindo por ponto.

Passo 4

(b) No Problema 1.9 a função de onda é real (algo como J(x,t) =ihbar2ml(Psi,partialxPsi-Psi,partialxPsir) =0 para , zero fora).
Se é real, então e

Resposta

(a) , com e unidade de é s .
(b) Para a função real do Problema 1.9: .

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