Problema 1.14 Seja
a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo (
), no instante
.
(a) Mostre que
onde
Quais são as unidades de
? Observação: Jé chamada de corrente de probabilidade, pois estabelece a taxa com que a probabilidade ‘flui’ através do ponto
. Se
aumenta, então mais probabilidade está fluindo para dentro da região em uma extremidade do que está fluindo para fora na outra.
(b) Encontre a corrente de probabilidade para a função de onda no Problema 1.9. (Não acho que esse exemplo seja muito bom; encontraremos outros mais instrutivos oportunamente.)
(a) Mostre que
(b) Encontre a corrente de probabilidade para a função de onda no Problema 1.9. (Não acho que esse exemplo seja muito bom; encontraremos outros mais instrutivos oportunamente.)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a probabilidade
de achar a partícula entre
e
no tempo
.
A parte (a) pede pra mostrar que
A parte (a) pede pra mostrar que
onde
é a tal “corrente de probabilidade”.
Depois querem a unidade de .
Na parte (b) a gente aplica isso a uma função de onda dada no Problema 1.9 (que é real), e vê qual é ali.
Pra resolver precisamos:
Depois querem a unidade de
Na parte (b) a gente aplica isso a uma função de onda dada no Problema 1.9 (que é real), e vê qual é
Pra resolver precisamos:
- usar a equação de Schrödinger (e sua conjugada);
- trocar a derivada no tempo com a integral em
; - integrar por partes em
.
Passo 2
Começando de fato, escrevemos
Diferenciando em
:
Agora entramos com a equação de Schrödinger unidimensional sem potencial extra (ou com potencial real
, que não contribui ao imaginar):
Então
Somando dá (o termo com
some, pois é puro imaginário vezes
mais o conjugado):
Logo
Fazendo integração por partes em cada termo (e assumindo que
e
decaem ou são contínuos na fronteira), sobra só o contorno:
Passo 3
Agora as unidades de
.
Sabemos que tem dimensão de probabilidade por comprimento (pra integrar em
dar sem unidade).
Em temos 1/(comprimento·tempo).
Pela equação de continuidade
,
a derivada espacial de tem 1/(comprimento·tempo),
logo tem 1/tempo.
Ou seja, unidade de s : é taxa de probabilidade fluindo por ponto.
Sabemos que
Em
Pela equação de continuidade
a derivada espacial de
logo
Ou seja, unidade de s
Passo 4
(b) No Problema 1.9 a função de onda é real (algo como
para
, zero fora).
Se é real, então
e
Se
Resposta
(a)
, com
e unidade de
é s
.
(b) Para a função real do Problema 1.9: .
(b) Para a função real do Problema 1.9: