Problema 1.17 Uma partícula está representada (no instante t=0 ) pela função de onda
Psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <=+a 0, & caso contrário á
(a) Determine a constante de normalização A.
(b) Qual é o valor esperado de x (no instante t=0 )?
© Qual é o valor esperado de p (no instante t=0 )? (Note que você não pode obtê-lo usando p=m dlang<= xrang<= / d t. Por que não?)
(d) Encontre o valor esperado de x^2.
(e) Encontre o valor esperado de p^2.
(f) Encontre a incerteza em .
(g) Encontre a incerteza em .
(h) Verifique se seus resultados são consistentes com o princípio da incerteza.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que no instante Psi(x,0)= Al(a^2 - x^2r),&|x|<= a, 0,&caso contrário a partícula tem
á
Isso é Física Quântica básica: a gente precisa
  1. Normalizar a função de onda ( );
  2. Calcular valores esperados de , , , ;
  3. A partir daí achar as incertezas , e ver se .
    Vamos usar definição de valor esperado
    e, para o momento, o operador
    . Sem pular nada, vamo que vamo!

Passo 2

Normalização:
1=integral-a^a|Psi|^2dx = A^2integral-a^a(a^2-x^2)^2dx
Calcula o integral:
A^216a^515=1 Rightarrow A=raiz1516,a^5
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Passo 3

Valor esperado de lang<= xrang<= =integral-a^aPsi^*(x),x,Psi(x),dx = A^2integral-a^ax,(a^2-x^2)^2dx :
O integrando é função ímpar em , então dá zero:

Passo 4

Valor esperado de lang<= prang<= =integral-a^aPsi^*(-ihbar)dPsidx,dx :
Como é real e simétrica, o resultado é zero.
Obs.: não dá pra usar , porque isso vale pra evolução temporal completa e aqui só temos o instante sem saber o Hamiltoniano pra todo .

Passo 5

Valor esperado de lang<= x^2rang<= = A^2integral-a^ax^2,(a^2-x^2)^2,dx :
Fazendo a integral dá

Passo 6

Valor esperado de lang<= p^2rang<= =-hbar^2integral-a^aPsi,d^2Psidx^2,dx =hbar^2integral-a^al(Psi'r)^2dx :
lang<= p^2rang<= =hbar^2integral-a^a4A^2x^2,dx =5hbar^22a^2
Como ,

Passo 7

Incertezas:
sigmax=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =raiza^27, sigmap=raizlang<= p^2rang<=-lang<= prang<=^2 =raiz5hbar^22a^2

Passo 8

Princípio da incerteza:
sigmax,sigmap =raiza^27;raiz5hbar^22a^2 =hbarraiz514 approx0,598,hbar ;>;hbar2
Tudo confere com .

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) , ok!

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