*Problema 1.3 Considere a distribuição gaussiana
rho(x)=A e^-lambda(x-a)^2,
onde A, a e lambda são constantes reais positivas. (Procure quaisquer integrais de que você precise.)
(a) Use a Equação 1.16 para determinar A.
(b) Encontre sigma e rho(x).
© Esboce um gráfico de .

Passo 1

Beleza, temos uma densidade de probabilidade no eixo real dada por
rho(x)=A,e^-lambda(x-a)^2,
com e qualquer real.
Conteúdo: normalização de distribuições contínuas (integração de Gauss), cálculo de valor esperado e variância.
O que vamos precisar:
  1. A integral gaussiana clássica
    .
  2. Definições de , e .

Passo 2

Queremos integral-infty^inftyrho(x),dx =integral-infty^inftyA,e^-lambda(x-a)^2,dx=1 tal que
integral-infty^inftye^-lambda(x-a)^2dx =integral-infty^inftye^-lambda y^2dy =raizpilambda
Fazendo a troca de variável A;raizpilambda=1 Longrightarrow A=raizlambdapi (centra a integral em zero):
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Passo 3

Valor esperado lang<= xrang<= =integral-infty^inftyx,rho(x),dx =Aintegral-infty^inftyx,e^-lambda(x-a)^2dx :
lang<= xrang<= =Aintegral-infty^infty(y+a)e^-lambda y^2dy =a;Aintegral-infty^inftye^-lambda y^2dy =acdot1 =a
De novo , então . A integral de é zero (porque é ímpar). Resta

Passo 4

Calculando lang<= x^2rang<= =Aintegral-infty^inftyx^2e^-lambda(x-a)^2dx =Aintegral-infty^infty(y+a)^2e^-lambda y^2dy :
lang<= x^2rang<= =Al[integral y^2e^-lambda y^2dy +a^2!integral e^-lambda y^2dyr]
Expande lang<= x^2rang<= =121lambda +a^2 . O termo com sigma^2 =lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2 =l(a^2+12lambdar)-a^2 =12lambda, some e sobra
Usando
, e a normalização já dá , achamos
A variância é
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.

Passo 5

Gráfico de :
é a clássica “curva de sino” (bell curve) centrada em , com largura (desvio padrão) . Quanto maior , mais “fina” a montanha; quanto menor , mais espalhada.

Resposta

A constante de normalização é
A=raizlambdapi
Temos



E o gráfico é uma gaussiana centrada em com largura .

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