*Problema 1.3 Considere a distribuição gaussiana
onde
e
são constantes reais positivas. (Procure quaisquer integrais de que você precise.)
(a) Use a Equação 1.16 para determinar
.
(b) Encontre
e
.
© Esboce um gráfico de
.
(a) Use a Equação 1.16 para determinar
(b) Encontre
© Esboce um gráfico de
Passo 1
Beleza, temos uma densidade de probabilidade no eixo real dada por
com
e
qualquer real.
Conteúdo: normalização de distribuições contínuas (integração de Gauss), cálculo de valor esperado e variância.
O que vamos precisar:
Conteúdo: normalização de distribuições contínuas (integração de Gauss), cálculo de valor esperado e variância.
O que vamos precisar:
- A integral gaussiana clássica
. - Definições de
, e .
Passo 2
Queremos
tal que
Fazendo a troca de variável
(centra a integral em zero):
Logo
Passo 3
Valor esperado
:
De novo
, então
. A integral de
é zero (porque é ímpar). Resta
Passo 4
Calculando
:
Expande
. O termo com
some e sobra
Usando
, e a normalização já dá
, achamos
A variância é
logo
.
Passo 5
Gráfico de
:
é a clássica “curva de sino” (bell curve) centrada em , com largura (desvio padrão)
. Quanto maior
, mais “fina” a montanha; quanto menor
, mais espalhada.
é a clássica “curva de sino” (bell curve) centrada em
Resposta
A constante de normalização é
Temos
E o gráfico é uma gaussiana centrada em com largura
.
E o gráfico é uma gaussiana centrada em