Problema 1.11 O ponteiro do velocímetro quebrado de um carro está livre para girar, e reflete perfeitamente nas extremidades, de modo que se você empurrá-lo, é igualmente provável que venha a parar em qualquer ângulo entre 0 e pi.
(a) Qual é a densidade de probabilidade, rho(theta) ? Dica: rho(theta) d theta é a probabilidade de que o ponteiro ficará em repouso entre theta e (theta+d theta). Represente rho(theta) como função de theta, de -pi / 2 para 3 pi / 2. (É claro, parte do intervalo está excluída e, nele, rho é zero.) Tenha certeza de que a probabilidade total é 1 .
(b) Calcule sigma e para essa distribuição.
© Calcule .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o ponteiro está igualmente provável em qualquer ângulo entre 0 e π (graças às “reflexões” perfeitas nas pontas).
Matéria: distribuição contínua, densidade de probabilidade, valor esperado, variância, e esperanças de funções (seno e cosseno).
O que vamos precisar:
  • Saber que, para uma variável contínua θ uniforme em [0,π], a densidade é constante em [0,π] e zero fora.
  • Usar integrais para calcular expectativas:
    \langle f(θ) \rangle = ∫ f(θ) ρ(θ) dθ.

Passo 2

Primeiro achamos a densidade ρ(θ).
Como é uniforme em 0≤θ≤π, a área total da densidade deve ser 1, logo
ρ(θ) =
1/π, & 0 ≤ θ ≤ π, 0, & caso contrário á

Passo 3

Vamos calcular ⟨θ⟩ = ∫₀^π θ·(1/π) dθ.
  1. Escrevendo a integral:
    ⟨θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π θ,dθ.
  2. Sabendo que ∫₀^π θ dθ = [θ²/2]₀^π = π²/2.
  3. Então
    ⟨θ⟩ = \frac{1}{π} · \frac{π²}{2} = \frac{π}{2}.

Passo 4

(a) ⟨θ²⟩:
⟨θ²⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π θ² dθ = \frac{1}{π}·\Bigl[\frac{θ³}{3}\Bigr]₀^π = \frac{π²}{3}.
(b) Variância e desvio-padrão σ:
Var(θ) = ⟨θ²⟩ – ⟨θ⟩² = \frac{π²}{3} – \Bigl(\frac{π}{2}\Bigr)²
= π²\Bigl(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\Bigr) = π²·\frac{1}{12} = \frac{π²}{12}.
Logo
σ = √{Var(θ)} = \frac{π}{2√3}.

Passo 5

Agora os esperados de funções trig:
  1. ⟨sin θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π sinθ dθ
    = \frac{1}{π} [–cosθ]₀^π
    = \frac{1}{π} [–(–1) – (–1)?] = \frac{2}{π}.
  2. ⟨cos θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π cosθ dθ
    = \frac{1}{π} [sinθ]₀^π = 0.
  3. ⟨cos² θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π cos²θ dθ.
    Sabendo que ∫₀^π cos²θ dθ = π/2, vem
    ⟨cos² θ⟩ = \frac{1}{π}·\frac{π}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

ρ(θ) = 1/π,&0≤θ≤π,0,&cade o resto do domínio,í
⟨θ⟩ = π/2,
⟨θ²⟩ = π²/3,
σ = π/(2√3),
⟨sin θ⟩ = 2/π,
⟨cos θ⟩ = 0,
⟨cos² θ⟩ = 1/2.

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