Problema 1.11 O ponteiro do velocímetro quebrado de um carro está livre para girar, e reflete perfeitamente nas extremidades, de modo que se você empurrá-lo, é igualmente provável que venha a parar em qualquer ângulo entre
.
(a) Qual é a densidade de probabilidade,
? Dica:
é a probabilidade de que o ponteiro ficará em repouso entre
e
. Represente
como função de
, de
para
. (É claro, parte do intervalo está excluída e, nele,
é zero.) Tenha certeza de que a probabilidade total é 1 .
(b) Calcule
e
para essa distribuição.
© Calcule
.
(a) Qual é a densidade de probabilidade,
(b) Calcule
© Calcule
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o ponteiro está igualmente provável em qualquer ângulo entre 0 e π (graças às “reflexões” perfeitas nas pontas).
Matéria: distribuição contínua, densidade de probabilidade, valor esperado, variância, e esperanças de funções (seno e cosseno).
O que vamos precisar:
Matéria: distribuição contínua, densidade de probabilidade, valor esperado, variância, e esperanças de funções (seno e cosseno).
O que vamos precisar:
- Saber que, para uma variável contínua θ uniforme em [0,π], a densidade é constante em [0,π] e zero fora.
- Usar integrais para calcular expectativas:
\langle f(θ) \rangle = ∫ f(θ) ρ(θ) dθ.
Passo 2
Primeiro achamos a densidade ρ(θ).
Como é uniforme em 0≤θ≤π, a área total da densidade deve ser 1, logo
ρ(θ) =
Como é uniforme em 0≤θ≤π, a área total da densidade deve ser 1, logo
ρ(θ) =
Passo 3
Vamos calcular ⟨θ⟩ = ∫₀^π θ·(1/π) dθ.
- Escrevendo a integral:
⟨θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π θ,dθ. - Sabendo que ∫₀^π θ dθ = [θ²/2]₀^π = π²/2.
- Então
⟨θ⟩ = \frac{1}{π} · \frac{π²}{2} = \frac{π}{2}.
Passo 4
(a) ⟨θ²⟩:
⟨θ²⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π θ² dθ = \frac{1}{π}·\Bigl[\frac{θ³}{3}\Bigr]₀^π = \frac{π²}{3}.
⟨θ²⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π θ² dθ = \frac{1}{π}·\Bigl[\frac{θ³}{3}\Bigr]₀^π = \frac{π²}{3}.
(b) Variância e desvio-padrão σ:
Var(θ) = ⟨θ²⟩ – ⟨θ⟩² = \frac{π²}{3} – \Bigl(\frac{π}{2}\Bigr)²
= π²\Bigl(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\Bigr) = π²·\frac{1}{12} = \frac{π²}{12}.
Logo
σ = √{Var(θ)} = \frac{π}{2√3}.
Var(θ) = ⟨θ²⟩ – ⟨θ⟩² = \frac{π²}{3} – \Bigl(\frac{π}{2}\Bigr)²
= π²\Bigl(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\Bigr) = π²·\frac{1}{12} = \frac{π²}{12}.
Logo
σ = √{Var(θ)} = \frac{π}{2√3}.
Passo 5
Agora os esperados de funções trig:
-
⟨sin θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π sinθ dθ
= \frac{1}{π} [–cosθ]₀^π
= \frac{1}{π} [–(–1) – (–1)?] = \frac{2}{π}. -
⟨cos θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π cosθ dθ
= \frac{1}{π} [sinθ]₀^π = 0. -
⟨cos² θ⟩ = \frac{1}{π} ∫₀^π cos²θ dθ.
Sabendo que ∫₀^π cos²θ dθ = π/2, vem
⟨cos² θ⟩ = \frac{1}{π}·\frac{π}{2} = \frac{1}{2}.
Resposta
ρ(θ) =
⟨θ⟩ = π/2,
⟨θ²⟩ = π²/3,
σ = π/(2√3),
⟨sin θ⟩ = 2/π,
⟨cos θ⟩ = 0,
⟨cos² θ⟩ = 1/2.
⟨θ⟩ = π/2,
⟨θ²⟩ = π²/3,
σ = π/(2√3),
⟨sin θ⟩ = 2/π,
⟨cos θ⟩ = 0,
⟨cos² θ⟩ = 1/2.