Problema 15. Uma carga puntiforme q0 é fixada no centro de uma superfície cilíndrica, de raio R e altura H. Mostre que o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro é dado por:
PhiE=q02 epsilon0(HraizR^2+H^24)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico PhiE através da superfície lateral de um cilindro de raio R e altura H, quando uma carga pontual q0 está fixada no centro (no eixo e a meio‐altura). O conteúdo é fluxo eletrostático, definido por
PhiE=integral duplaSEcdotn,dA
Para resolver, vamos usar o campo de uma carga pontual e parametrizar a superfície cilíndrica.

Passo 2

O campo elétrico de uma carga pontual q0 no vácuo é
E(r) =q04piepsilon0rr^3
Na superfície lateral do cilindro temos coordenadas cilíndricas rho=R, phiin[0,2pi], zin[-H/2,H/2]. O versor normal externo é n=erho e o elemento de área é dA=R,dphi,dz.

Passo 3

O produto escalar é
Ecdotn =Erho =q04piepsilon0 rcdoterho(R^2+z^2)^3/2 =q04piepsilon0R(R^2+z^2)^3/2
Logo o fluxo elementar fica
Ecdotn,dA =q04piepsilon0 R(R^2+z^2)^3/2;R,dphi,dz =q04piepsilon0 R^2(R^2+z^2)^3/2,dphi,dz

Passo 4

Integramos em phi de 0 a 2pi:
PhiE =integral-H/2^H/2integral0^2pi q04piepsilon0 R^2(R^2+z^2)^3/2,dphi,dz =q02epsilon0,R^2 integral-H/2^H/2dz(R^2+z^2)^3/2

Passo 5

Usamos a primitiva
integraldz(R^2+z^2)^3/2 =zR^2raizR^2+z^2
Avaliando de z=-H/2 a z=H/2 obtemos
HR^2raizR^2+tfracH^24. Substituindo:
PhiE =q02epsilon0,R^2 cdotHR^2raizR^2+tfracH^24 =q02epsilon0 HraizR^2+tfracH^24

Resposta

PhiE =q02epsilon0 (HraizR^2+tfracH^24)

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