Problema 16. Uma esfera maciça de raio contem uma carga distribuída uniformemente e densidade . A esfera é envolvida por uma crosta esférica de raio interno e raio externo e densidade de carga uniforme . Considere ambos corpos esféricos concêntricos. Mostre que o campo elétrico é dado por:
Passo 1
O enunciado descreve duas distribuições de carga esféricas concêntricas:
– Uma esfera maciça de raio a com densidade volumétrica uniforme rho0.
– Uma casca esférica de raio interno b>a e externo c, com densidade volumétrica uniforme -rho0.
Precisamos encontrar o campo elétrico E(r) em função da distância r ao centro usando a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo de E através de uma superfície gaussiana com a carga interna a ela.
Passo 2
A Lei de Gauss em forma integral é
ointSEcdot dA ;=;Qintepsilon0
Escolhendo S como esfera de raio r, por simetria E é radial e constante em módulo, logo
E(r) ;=; dfracrho0,r3epsilon0, & r <= a,[6pt] dfracrho0,a^33epsilon0,r^2, & a <= r <= b,[6pt] dfracrho0,l(a^3+b^3-r^3r)3epsilon0,r^2, & b <= r <= c,[6pt] dfracrho0,l(a^3+b^3-c^3r)3epsilon0,r^2, & r >= c ]