Problema 16. Uma esfera maciça de raio a contem uma carga distribuída uniformemente e densidade rho0. A esfera é envolvida por uma crosta esférica de raio interno b(b>a) e raio externo c e densidade de carga uniforme -rho0. Considere ambos corpos esféricos concêntricos. Mostre que o campo elétrico é dado por:
E(r)=ll rho03 epsilon0, & r <= a rho0 a^33 epsilon0 r^2, & a <= r <= b rho0(a^3+b^3-r^3)3 epsilon0 r^2, & b <= r <= c rho0(a^3+b^3-c^3)3 epsilon0 r^2, & c <= r

Passo 1

O enunciado descreve duas distribuições de carga esféricas concêntricas:
– Uma esfera maciça de raio a com densidade volumétrica uniforme rho0.
– Uma casca esférica de raio interno b>a e externo c, com densidade volumétrica uniforme -rho0.
Precisamos encontrar o campo elétrico E(r) em função da distância r ao centro usando a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo de E através de uma superfície gaussiana com a carga interna a ela.

Passo 2

A Lei de Gauss em forma integral é
ointSEcdot dA ;=;Qintepsilon0
Escolhendo S como esfera de raio r, por simetria E é radial e constante em módulo, logo
E(r),4pi r^2 ;=;Qint(r)epsilon0 Longrightarrow E(r) = Qint(r)4piepsilon0,r^2

Passo 3

Região r<= a: a superfície gaussiana está inteiramente na esfera de densidade rho0. A carga interna é
Qint(r) =rho0,4pi r^33
Substituindo em Gauss,
E(r) =rho0,4pi r^334piepsilon0,r^2 =rho0,r3epsilon0

Passo 4

Região a<= r<= b: agora toda a esfera de raio a está dentro de S, e não há carga na região a<r<b. Logo
Qint(r) =rho0,4pi a^33,
e
E(r) =rho0,4pi a^334piepsilon0,r^2 =rho0,a^33epsilon0,r^2

Passo 5

Região b<= r<= c: dentro da superfície estão a esfera de raio a (densidade +rho0) e a parte da casca de b até r (densidade -rho0).
Qint(r) =rho0,4pi a^33 ;+;(-rho0),4pi,(r^3-b^3)3 =4pirho03,l(a^3+b^3-r^3r)
Então
E(r) =4pirho03,(a^3+b^3-r^3)4piepsilon0,r^2 =rho0,l(a^3+b^3-r^3r)3epsilon0,r^2

Passo 6

Região r>= c: toda carga (esfera e casca completa) está dentro de S, com carga total
Qtot =4pirho03,l(a^3+b^3-c^3r)
Logo, para r>= c,
E(r) =4pirho03,(a^3+b^3-c^3)4piepsilon0,r^2 =rho0,l(a^3+b^3-c^3r)3epsilon0,r^2

Resposta

E(r) ;=; dfracrho0,r3epsilon0, & r <= a,[6pt] dfracrho0,a^33epsilon0,r^2, & a <= r <= b,[6pt] dfracrho0,l(a^3+b^3-r^3r)3epsilon0,r^2, & b <= r <= c,[6pt] dfracrho0,l(a^3+b^3-c^3r)3epsilon0,r^2, & r >= c ]

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